Calcule
L(1+5 t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(t)=1+5t. Vamos usar o conteúdo de transformada de Laplace, que se baseia na definição
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,\mathrm{d}t,
válida para \Re(s)>0, e nas fórmulas básicas \mathcal{L}\{1\}(s)=\tfrac{1}{s} e \mathcal{L}\{t\}(s)=\tfrac{1}{s^{2}}.

Passo 2

Aplicamos a linearidade da transformada de Laplace a f(t)=1+5t, ou seja,
\mathcal{L}\{1+5t\}(s) =\mathcal{L}\{1\}(s)+5\,\mathcal{L}\{t\}(s).

Passo 3

Recordamos a fórmula para a constante:
\mathcal{L}\{1\}(s) =\int_{0}^{\infty}e^{-st}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{s},
para \Re(s)>0.

Passo 4

Recordamos a fórmula para a função t:
\mathcal{L}\{t\}(s) =\int_{0}^{\infty}t\,e^{-st}\,\mathrm{d}t =\frac{1}{s^{2}},
para \Re(s)>0. Multiplicando por 5, obtemos 5\,\mathcal{L}\{t\}(s)=\tfrac{5}{s^{2}}.

Passo 5

Somando os resultados de \mathcal{L}\{1\}(s) e 5\,\mathcal{L}\{t\}(s), chega-mos a
\mathcal{L}\{1+5t\}(s) =\frac{1}{s}+\frac{5}{s^{2}},
válido para \Re(s)>0.

Resposta

\mathcal{L}\{1+5t\}(s)=\frac{1}{s}+\frac{5}{s^{2}},\quad \Re(s)>0.

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