Resolve a equação diferencial ou o problema do valor inicial.
y^{\prime \prime \prime}-4 y^{\prime}=12 \operatorname{sen} 2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de 3ª ordem com coeficientes constantes
y''' - 4y' = 12\sin(2x).
O conteúdo principal é: (i) achar a solução geral da homogênea usando o polinômio característico; (ii) encontrar uma solução particular por método dos coeficientes indeterminados; (iii) somar as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y_h'''\;-\;4y_h'=0.
Assumimos y_h=e^{rx}, o que leva ao polinômio característico
r^3 - 4r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r(r^2 - 4)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\;r=2,\;r=-2.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x}.

Passo 3

Para achar uma solução particular y_p do tipo não‐homogêneo, notamos que o lado direito é 12\sin(2x). Fazemos a tentativa
y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = -2A\sin(2x) + 2B\cos(2x),
y_p'' = -4A\cos(2x) -4B\sin(2x),
y_p''' = 8A\sin(2x) -8B\cos(2x).
Substituindo em y''' -4y' =12\sin(2x):
\bigl(8A\sin(2x)-8B\cos(2x)\bigr)\;-\;4\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr) =12\sin(2x).
O lado esquerdo fica
8A\sin(2x)-8B\cos(2x) +8A\sin(2x)-8B\cos(2x) =16A\sin(2x)-16B\cos(2x).
Comparando coeficientes com 12\sin(2x)+0\cos(2x):
16A = 12 \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{3}{4}, \qquad -16B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Logo
y_p = \tfrac{3}{4}\cos(2x).

Passo 5

Pela superposição, a solução geral da equação original é
y(x) = y_h + y_p = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x} + \tfrac{3}{4}\cos(2x).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 + C_2 e^{2x} + C_3 e^{-2x} + \frac{3}{4}\cos(2x),}
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

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