Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o laplaciano dos campos escalares e vetoriais da função
. Para isso, vamos precisar entender o que é o laplaciano e como aplicá-lo a cada componente do campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função escalar
é uma operação matemática que combina as segundas derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis. A fórmula do laplaciano é:
Quando aplicamos o laplaciano a um campo vetorial
, calculamos o laplaciano de cada componente
,
e
separadamente.
Passo 3
Vamos começar calculando o laplaciano de cada componente de
.
Primeira componente:
Calculando as segundas derivadas:
Somando tudo:
Passo 4
Segunda componente:
Calculando as segundas derivadas:
Somando tudo:
Passo 5
Terceira componente:
Calculando as segundas derivadas:
Somando tudo:
Resposta
Portanto, o laplaciano do campo vetorial
é: