Calcule o laplaciano dos campos escalares e vetoriais.
F(x, y, z) = (cos(x), sen(y), e^z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente calcular o laplaciano dos campos escalares e vetoriais da função . Para isso, vamos precisar entender o que é o laplaciano e como aplicá-lo a cada componente do campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o que é o laplaciano. O laplaciano de uma função escalar é uma operação matemática que combina as segundas derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis. A fórmula do laplaciano é:
Quando aplicamos o laplaciano a um campo vetorial , calculamos o laplaciano de cada componente , e separadamente.

Passo 3

Vamos começar calculando o laplaciano de cada componente de .
Primeira componente:
Calculando as segundas derivadas:
Somando tudo:

Passo 4

Segunda componente:
Calculando as segundas derivadas:
Somando tudo:

Passo 5

Terceira componente:
Calculando as segundas derivadas:
Somando tudo:

Resposta

Portanto, o laplaciano do campo vetorial é:

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