Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries de potências e propriedades das funções inversas trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função
. A série de Taylor para
centrada em 0 é:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, basta substituir
por
na série que já temos:
Passo 4
Agora, multiplicamos essa série por
para obter
:
Passo 5
Para determinar o intervalo de convergência, consideramos a condição original da série de
, que era
. Isso implica que
.
Resposta
A representação em série de potências para
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.