Calcule \left|\begin{array}{cccc}4 & -2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 & 5 \\\\ -3 & 1 & -2 & -3\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da determinante de uma matriz 4\times4:
A = \begin{pmatrix} 4 & -2 & 3 & 1 \\\\ -1 & 3 & 0 & 2 \\\\ 0 & 2 & 1 & 5 \\\\ -3 & 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
O conteúdo da matéria é determinantes e vamos usar a expansão de Laplace (cofatores) ao longo da primeira coluna para simplificar os cálculos.

Passo 2

Aplicando a expansão de Laplace ao longo da primeira coluna, temos
\det(A) = \sum_{i=1}^{4} a_{i1}(-1)^{i+1} \,M_{i1},
onde M_{i1} é o menor obtido ao eliminar a linha i e a coluna 1. Assim
\det(A) = 4\cdot M_{11} -(-1)\cdot M_{21} +0\cdot M_{31} -3\cdot M_{41}.
Como a_{31}=0, o terceiro termo some, e escrevemos
\det(A) = 4\,M_{11} + M_{21} - 3\,M_{41}.

Passo 3

Calcular M_{11}, que é o determinante da submatriz das linhas 2–4 e colunas 2–4:
M_{11} = \det\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & 5\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Usando o método de Sarrus ou expansão:
M_{11} = 3\bigl(1\cdot(-3)-5\cdot(-2)\bigr) +0\cdot\bigl(\dots\bigr) +2\bigl(2\cdot(-2)-1\cdot1\bigr) =3(-3+10)+2(-4-1) =3\cdot7+2\cdot(-5) =21-10 =11.

Passo 4

Calcular M_{21}, que vem da submatriz de eliminar linha 2 e coluna 1 (com sinal ajustado já incluído):
M_{21} = \det\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\\\ 2 & 1 & 5\\\\ 1 & -2 & -3 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
M_{21} = -2\bigl(1\cdot(-3)-5\cdot(-2)\bigr) -3\bigl(2\cdot(-3)-5\cdot1\bigr) +1\bigl(2\cdot(-2)-1\cdot1\bigr)
= -2(-3+10)-3(-6-5)+1(-4-1) = -2\cdot7 -3\cdot(-11) +(-5) = -14 +33 -5 =14.

Passo 5

Calcular M_{41}, da submatriz ao eliminar linha 4 e coluna 1:
M_{41} = \det\begin{pmatrix} -2 & 3 & 1\\\\ 3 & 0 & 2\\\\ 2 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira linha:
M_{41} = -2\bigl(0\cdot5-2\cdot1\bigr) -3\bigl(3\cdot5-2\cdot2\bigr) +1\bigl(3\cdot1-0\cdot2\bigr)
= -2(0-2)-3(15-4)+1(3) = -2\cdot(-2)-3\cdot11+3 = 4 -33 +3 = -26.

Passo 6

Agora substituímos na fórmula da expansão:
\det(A) = 4\cdot M_{11} + M_{21} - 3\cdot M_{41} = 4\cdot 11 + 14 - 3\cdot(-26) = 44 + 14 + 78 = 136.

Resposta

\displaystyle 136

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