Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos e usar algumas propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar entender a função . O numerador é e o denominador é . Para que o limite exista, a função deve se aproximar do mesmo valor independentemente do caminho que escolhemos para se aproximar de .
Passo 3
Vamos considerar o caminho onde , onde é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o termo é uma constante. Isso sugere que o limite depende do valor de , o que significa que o limite pode variar dependendo do caminho escolhido.
Passo 4
No entanto, se analisarmos o comportamento geral da função, podemos usar desigualdades para estimar o limite. Observando que:
Para que este limite seja zero, precisamos que também tenda a zero. Se tende a zero mais rapidamente que , isso ocorre.
Passo 5
Considerando que e tendem a zero simultaneamente, a expressão tende a zero, garantindo que também tende a zero. Portanto, independentemente do caminho escolhido, o limite da função será zero.