Calcule lim (x, y) (0,0) f(x, y), caso exista :
i) f(x, y)=x^9 y(x^6+y^2)^2

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos analisar como a função se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos e usar algumas propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar entender a função . O numerador é e o denominador é . Para que o limite exista, a função deve se aproximar do mesmo valor independentemente do caminho que escolhemos para se aproximar de .

Passo 3

Vamos considerar o caminho onde f(x, y) = x^9 (k x^3)(x^6 + (k x^3)^2)^2 = k x^12(x^6 + k^2 x^6)^2 = k x^12(x^6(1 + k^2))^2 = k x^12x^12 (1 + k^2)^2 = k(1 + k^2)^2 , onde é uma constante. Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o termo é uma constante. Isso sugere que o limite depende do valor de , o que significa que o limite pode variar dependendo do caminho escolhido.

Passo 4

No entanto, se analisarmos o comportamento geral da função, podemos usar desigualdades para estimar o limite. Observando que:
|f(x, y)| = | x^9 y(x^6 + y^2)^2 | <= |x|^9 |y|(x^6 + y^2)^2
Sabemos que |f(x, y)| <= |x|^9 |y|x^12 = |y||x|^3 , então:
Para que este limite seja zero, precisamos que também tenda a zero. Se tende a zero mais rapidamente que , isso ocorre.

Passo 5

Considerando que e tendem a zero simultaneamente, a expressão tende a zero, garantindo que também tende a zero. Portanto, independentemente do caminho escolhido, o limite da função será zero.

Resposta

O limite de quando se aproxima de é .

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