Calcule \lim \frac{n^{2}}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite (vou assumir o caso padrão quando não é especificado): calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}}.
Informações dadas:
  • O numerador é um polinômio em n, especificamente n^{2}.
  • O denominador é uma função exponencial em n, especificamente e^{n}.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando n tende a infinito?

Passo 2

Breve explicação das ideias que vou usar (sem ainda resolver): funções polinomiais crescem “muito mais devagar” do que exponenciais quando o argumento tende a infinito. Uma maneira formal de mostrar isso é transformar o problema em um limite de função real e aplicar o Teorema de l’Hôpital, que permite comparar taxas de crescimento por meio de derivadas. Outra via, puramente discreta, é usar o quociente de termos consecutivos da sequência e mostrar que ele fica menor que uma constante r<1 para n grande, o que força a sequência a zero.

Passo 3

Vou usar o método de l’Hôpital porque é direto e elementar: considerar a função real
f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}},\qquad x\to\infty,
que coincide com a sequência em pontos inteiros. O Teorema de l’Hôpital pode ser aplicado quando temos uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty}, o que ocorre aqui pois x^{2}\to\infty e e^{x}\to\infty quando x\to\infty.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital pela primeira vez: calcular derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador: \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Derivada do denominador: \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
Portanto, pelo Teorema de l’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^{x}}.
Ainda temos uma indeterminação do tipo \frac{\infty}{\infty}, então podemos aplicar l’Hôpital novamente.

Passo 5

Aplicando l’Hôpital pela segunda vez:
Derivada do numerador agora: \frac{d}{dx}(2x)=2.
Derivada do denominador: \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
Assim,
\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^{x}}.
Agora o denominador e^{x} tende a infinito enquanto o numerador é a constante 2, logo o limite é 0:
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^{x}}=0.
Concluímos então que
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=0,
e, em particular,
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{e^{n}}=0.

Passo 6

Para consolidar a intuição, mostro uma alternativa discreta (sequência) via quociente de termos consecutivos. Seja a_{n}=\dfrac{n^{2}}{e^{n}}. Então
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(n+1)^{2}}{n^{2}}\cdot\frac{1}{e}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\frac{1}{e}.
Quando n\to\infty tem-se \left(1+\frac{1}{n}\right)^{2}\to 1, logo para n grande o quociente fica próximo de \dfrac{1}{e}. Como \dfrac{1}{e}<1, existe um N tal que para todo n\ge N vale \dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}<r com algum r tal que \dfrac{1}{e}<r<1. Isso implica que a_{n} decresce geometricamente a partir de um ponto, forçando a_{n}\to 0. Essa é outra maneira de ver que a exponencial domina o polinômio.

Passo 7

Resumo e intuição final: exponenciais crescem muito mais rápido do que polinômios. Aplicando l’Hôpital duas vezes ou observando o quociente entre termos consecutivos mostra-se formalmente que \dfrac{n^{2}}{e^{n}} tende a zero quando n\to\infty.

Resposta

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