Calcule
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite (vou assumir o caso padrão quando não é especificado): calcular
Informações dadas:
- O numerador é um polinômio em
, especificamente . - O denominador é uma função exponencial em
, especificamente .
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandotende a infinito?
Passo 2
Breve explicação das ideias que vou usar (sem ainda resolver): funções polinomiais crescem “muito mais devagar” do que exponenciais quando o argumento tende a infinito. Uma maneira formal de mostrar isso é transformar o problema em um limite de função real e aplicar o Teorema de l’Hôpital, que permite comparar taxas de crescimento por meio de derivadas. Outra via, puramente discreta, é usar o quociente de termos consecutivos da sequência e mostrar que ele fica menor que uma constante
para
grande, o que força a sequência a zero.
Passo 3
Vou usar o método de l’Hôpital porque é direto e elementar: considerar a função real
que coincide com a sequência em pontos inteiros. O Teorema de l’Hôpital pode ser aplicado quando temos uma indeterminação do tipo
, o que ocorre aqui pois
e
quando
.
Passo 4
Aplicando l’Hôpital pela primeira vez: calcular derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador: .
Derivada do denominador: .
Portanto, pelo Teorema de l’Hôpital,
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Portanto, pelo Teorema de l’Hôpital,
Ainda temos uma indeterminação do tipo
, então podemos aplicar l’Hôpital novamente.
Passo 5
Aplicando l’Hôpital pela segunda vez:
Derivada do numerador agora: .
Derivada do denominador: .
Assim,
Derivada do numerador agora:
Derivada do denominador:
Assim,
Agora o denominador
tende a infinito enquanto o numerador é a constante
, logo o limite é
:
Concluímos então que
e, em particular,
Passo 6
Para consolidar a intuição, mostro uma alternativa discreta (sequência) via quociente de termos consecutivos. Seja
. Então
Quando
tem-se
, logo para
grande o quociente fica próximo de
. Como
, existe um
tal que para todo
vale
com algum
tal que
. Isso implica que
decresce geometricamente a partir de um ponto, forçando
. Essa é outra maneira de ver que a exponencial domina o polinômio.
Passo 7
Resumo e intuição final: exponenciais crescem muito mais rápido do que polinômios. Aplicando l’Hôpital duas vezes ou observando o quociente entre termos consecutivos mostra-se formalmente que
tende a zero quando
.
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