O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n-1}{n+1} e pede para determinar o limite quando n tende ao infinito.
Informações importantes extraídas do enunciado:
A fórmula geral da sequência é a_{n}=\dfrac{n-1}{n+1}.
A pergunta implícita é qual é \lim_{n\to\infty} a_{n}.
Passo 2
Uma manipulação algébrica simples deixa a sequência numa forma mais clara para ver o limite. Vamos transformar \dfrac{n-1}{n+1} escrevendo-a como uma diferença de 1 com uma fração pequena:
Explicação intuitiva: conforme n cresce, o denominador n+1 fica muito grande, então a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero.
Passo 4
Se \dfrac{1}{n+1}\to 0, então multiplicando por 2 obtemos
\frac{2}{n+1}\to 0.
Em seguida, usando a propriedade de limites de somas e constantes (o limite da soma é a soma dos limites, e o limite de uma constante é a própria constante), da expressão obtida no Passo 2:
logo \left|\dfrac{1}{n+1}-0\right|<\varepsilon, o que prova que \dfrac{1}{n+1}\to 0. Multiplicando por 2 e usando as propriedades de limite obtemos o resultado anterior.