Determine o limite de a_{n}=\frac{n-1}{n+1}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=\dfrac{n-1}{n+1} e pede para determinar o limite quando n tende ao infinito.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A fórmula geral da sequência é a_{n}=\dfrac{n-1}{n+1}.
  • A pergunta implícita é qual é \lim_{n\to\infty} a_{n}.

Passo 2

Uma manipulação algébrica simples deixa a sequência numa forma mais clara para ver o limite. Vamos transformar \dfrac{n-1}{n+1} escrevendo-a como uma diferença de 1 com uma fração pequena:
\frac{n-1}{n+1} = \frac{(n+1)-2}{n+1} = 1 - \frac{2}{n+1}.
Aqui foi subtraído e somado 1 no numerador para separar a parte que tende a 1 e a parte que tende a 0.

Passo 3

Agora precisamos analisar o comportamento da parte \dfrac{2}{n+1} quando n\to\infty. É um conhecimento básico que
\frac{1}{n+1}\to 0 \quad\text{quando}\quad n\to\infty.
Explicação intuitiva: conforme n cresce, o denominador n+1 fica muito grande, então a fração fica cada vez menor, aproximando-se de zero.

Passo 4

Se \dfrac{1}{n+1}\to 0, então multiplicando por 2 obtemos
\frac{2}{n+1}\to 0.
Em seguida, usando a propriedade de limites de somas e constantes (o limite da soma é a soma dos limites, e o limite de uma constante é a própria constante), da expressão obtida no Passo 2:
a_{n} = 1 - \frac{2}{n+1},
segue que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = 1 - \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 1 - 0 = 1.

Passo 5

Se quiser uma justificativa mais formal de que \dfrac{1}{n+1}\to 0: dado \varepsilon>0, escolha N tal que N> \dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo n\ge N,
0 \le \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon,
logo \left|\dfrac{1}{n+1}-0\right|<\varepsilon, o que prova que \dfrac{1}{n+1}\to 0. Multiplicando por 2 e usando as propriedades de limite obtemos o resultado anterior.

Resposta

1

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