- Calcule
sendo
dada por
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde foi dada a função
Informações relevantes que temos:
é um ponto fixo (qualquer número real) e
é a variável que tende a
. O que se pede é o valor numérico desse limite em função de
(se houver dependência) ou um número, quando
.
Passo 2
Vou desenvolver explicitamente a diferença
. Isso é útil porque mostra como a expressão se comporta quando
fica pequeno.
Calcule
:
Expanda
:
Substituindo:
Agora subtraia
, lembrando que
:
Passo 3
Simplifique a diferença:
Observe que cada termo no lado direito tem fator
. Fatore
:
Passo 4
Substitua essa expressão no limite pedido e simplifique antes de tomar o limite:
Agora tome o limite quando
. Use a propriedade de limites que permite avaliar produtos: se uma parte tende a
e a outra tende a um número finito, o produto tende a
. Quando
vale
que é finito para qualquer
. Portanto o produto tende a
:
Passo 5
Comentário didático rápido (jeito alternativo de ver): como
é um polinômio é contínua, então
quando
; daí
e dividindo por
(constante) o limite também é
. Outra alternativa é escrever
notar que
tende para
finito e
, produto dá
. Ambos confirmam o resultado anterior.