1. Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{4} sendo f dada por
(b) f(x)=2 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{4},
onde foi dada a função
f(x)=2x^{2}+x.
Informações relevantes que temos: x é um ponto fixo (qualquer número real) e h é a variável que tende a 0. O que se pede é o valor numérico desse limite em função de x (se houver dependência) ou um número, quando h\to0.

Passo 2

Vou desenvolver explicitamente a diferença f(x+h)-f(x). Isso é útil porque mostra como a expressão se comporta quando h fica pequeno.
Calcule f(x+h):
f(x+h)=2(x+h)^{2}+(x+h).
Expanda (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo:
f(x+h)=2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+x+h=2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h.
Agora subtraia f(x), lembrando que f(x)=2x^{2}+x:
f(x+h)-f(x)=(2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h)-(2x^{2}+x).

Passo 3

Simplifique a diferença:
f(x+h)-f(x)=4xh+2h^{2}+h.
Observe que cada termo no lado direito tem fator h. Fatore h:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(4x+2h+1\bigr).

Passo 4

Substitua essa expressão no limite pedido e simplifique antes de tomar o limite:
\frac{f(x+h)-f(x)}{4}=\frac{h\bigl(4x+2h+1\bigr)}{4}=\frac{h}{4}\bigl(4x+2h+1\bigr).
Agora tome o limite quando h\to0. Use a propriedade de limites que permite avaliar produtos: se uma parte tende a 0 e a outra tende a um número finito, o produto tende a 0. Quando h\to0 vale
\frac{h}{4}\longrightarrow 0 \qquad\text{e}\qquad 4x+2h+1 \longrightarrow 4x+1,
que é finito para qualquer x. Portanto o produto tende a 0:
\lim_{h\to0}\frac{h}{4}\bigl(4x+2h+1\bigr)=0\cdot(4x+1)=0.

Passo 5

Comentário didático rápido (jeito alternativo de ver): como f é um polinômio é contínua, então f(x+h)\to f(x) quando h\to0; daí f(x+h)-f(x)\to0 e dividindo por 4 (constante) o limite também é 0. Outra alternativa é escrever
\frac{f(x+h)-f(x)}{4}=\left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\right)\frac{h}{4},
notar que \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} tende para f'(x) finito e \dfrac{h}{4}\to0, produto dá 0. Ambos confirmam o resultado anterior.

Resposta

0

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