- Dada a tabela abaixo, calcule
usando um polinômio de interpolador sobre três pont4 de Newton para o polinômio interpolador) e estime o erro cometido.
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
3.6
3.8
11.02
13.46
16.44
20.08
24.53
29.96
36.59
44.70
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2.4 | 2.6 | 2.8 | 3.0 | 3.2 | 3.4 | 3.6 | 3.8 |
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11.02 | 13.46 | 16.44 | 20.08 | 24.53 | 29.96 | 36.59 | 44.70 |
Passo 1
O enunciado fornece uma tabela com valores de
(que correspondem a
arredondados) nos pontos listados abaixo e pede duas coisas:
- Calcular
usando um polinômio interpolador de Newton sobre três pontos. - Estimar o erro cometido por essa interpolação.
Os dados fornecidos na tabela (peguei estes números da tabela do enunciado) são:
O ponto onde queremos interpolar é
.
Passo 2
Escolha dos três pontos: para interpolar em
é natural escolher três pontos próximos e, se possível, simétricos em torno de
. Vou usar os pontos
com os valores (peguei estes valores da tabela)
Escolhi estes porque são os três pontos consecutivos mais próximos de
e isso tende a dar uma boa aproximação com um polinômio quadrático.
Passo 3
Definição e cálculo das diferenças divididas (a base do polinômio de Newton):
- A primeira diferença dividida entre
e é
- A segunda diferença dividida entre três pontos é
Calculemos usando os números da tabela:
Expliquei cada fórmula e calculei cada passo numérico — assim dá para reproduzir na prova com a tabela à mão.
Passo 4
Construção do polinômio de Newton de grau 2 e avaliação em
.
A forma de Newton para três pontos é
Substituindo os valores:
Agora avalio em
. Calcule os incrementos:
Portanto
Faço as multiplicações:
Somando:
Assim, a interpolação quadrática com os três pontos escolhidos fornece
.
Passo 5
Estimativa do erro (resto da interpolação). Para interpolação polinomial de grau
em pontos
o resto em
é dado por
para algum
no intervalo que contém os nós e
. Aqui
, logo
para algum
.
No nosso caso
, então
. Para obter uma estimativa superior do módulo do erro, podemos usar o máximo de
no intervalo
; o máximo ocorre em
. Vou usar o valor de
que peguei da tabela,
, como uma estimativa para
no intervalo (é coerente porque os valores da tabela são
aproximados).
Calcule o produto dos fatores:
E
. Então a cota do erro é
Arredondando razoavelmente:
Passo 6
Verificação numérica rápida (opcional, para tranquilizar): o valor exato (mais preciso) de
é aproximadamente
, então o erro real da nossa aproximação é
que está bem dentro da cota estimada
. Isso mostra que o procedimento funcionou e a cota é válida (às vezes a cota é pessimista; aqui ela é quase o dobro do erro real).
Força aí — dá pra fazer isso direitinho na prova seguindo estes passos!