1. Dada a tabela abaixo, calcule e^{3.1} usando um polinômio de interpolador sobre três pont4 de Newton para o polinômio interpolador) e estime o erro cometido.
x 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8
f(x) 11.02 13.46 16.44 20.08 24.53 29.96 36.59 44.70

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com valores de f(x) (que correspondem a e^x arredondados) nos pontos listados abaixo e pede duas coisas:
  • Calcular e^{3,1} usando um polinômio interpolador de Newton sobre três pontos.
  • Estimar o erro cometido por essa interpolação.
Os dados fornecidos na tabela (peguei estes números da tabela do enunciado) são:
\begin{array}{c|cccccccc} x & 2{,}4 & 2{,}6 & 2{,}8 & 3{,}0 & 3{,}2 & 3{,}4 & 3{,}6 & 3{,}8\\hline f(x) & 11{,}02 & 13{,}46 & 16{,}44 & 20{,}08 & 24{,}53 & 29{,}96 & 36{,}59 & 44{,}70 \end{array}
O ponto onde queremos interpolar é x=3,1.

Passo 2

Escolha dos três pontos: para interpolar em x=3{,}1 é natural escolher três pontos próximos e, se possível, simétricos em torno de 3{,}1. Vou usar os pontos
x_0=2{,}8,\quad x_1=3{,}0,\quad x_2=3{,}2,
com os valores (peguei estes valores da tabela)
f(x_0)=16{,}44,\quad f(x_1)=20{,}08,\quad f(x_2)=24{,}53.
Escolhi estes porque são os três pontos consecutivos mais próximos de 3{,}1 e isso tende a dar uma boa aproximação com um polinômio quadrático.

Passo 3

Definição e cálculo das diferenças divididas (a base do polinômio de Newton):
  • A primeira diferença dividida entre x_i e x_j é
f[x_i,x_j]=\frac{f(x_j)-f(x_i)}{x_j-x_i}.
  • A segunda diferença dividida entre três pontos é
f[x_i,x_j,x_k]=\frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{x_k-x_i}.
Calculemos usando os números da tabela:
f[x_0,x_1]=\frac{20{,}08-16{,}44}{3{,}0-2{,}8}=\frac{3{,}64}{0{,}2}=18{,}2.
f[x_1,x_2]=\frac{24{,}53-20{,}08}{3{,}2-3{,}0}=\frac{4{,}45}{0{,}2}=22{,}25.
f[x_0,x_1,x_2]=\frac{22{,}25-18{,}2}{3{,}2-2{,}8}=\frac{4{,}05}{0{,}4}=10{,}125.
Expliquei cada fórmula e calculei cada passo numérico — assim dá para reproduzir na prova com a tabela à mão.

Passo 4

Construção do polinômio de Newton de grau 2 e avaliação em x=3{,}1.
A forma de Newton para três pontos é
P_2(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1]\,(x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Substituindo os valores:
P_2(x)=16{,}44+18{,}2\,(x-2{,}8)+10{,}125\,(x-2{,}8)(x-3{,}0).
Agora avalio em x=3{,}1. Calcule os incrementos:
x-x_0=3{,}1-2{,}8=0{,}3,\qquad x-x_1=3{,}1-3{,}0=0{,}1.
Portanto
P_2(3{,}1)=16{,}44+18{,}2\cdot 0{,}3+10{,}125\cdot(0{,}3)(0{,}1).
Faço as multiplicações:
18{,}2\cdot 0{,}3=5{,}46,\qquad 10{,}125\cdot 0{,}03=0{,}30375.
Somando:
P_2(3{,}1)=16{,}44+5{,}46+0{,}30375=22{,}20375.
Assim, a interpolação quadrática com os três pontos escolhidos fornece \;P_2(3{,}1)=22{,}20375.

Passo 5

Estimativa do erro (resto da interpolação). Para interpolação polinomial de grau n em pontos x_0,\dots,x_n o resto em x é dado por
R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod_{i=0}^n (x-x_i)
para algum \xi no intervalo que contém os nós e x. Aqui n=2, logo
R_2(3{,}1)=\frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}(3{,}1-2{,}8)(3{,}1-3{,}0)(3{,}1-3{,}2)
para algum \xi\in[2{,}8,3{,}2].
No nosso caso f(x)=e^x, então f^{(3)}(x)=e^x. Para obter uma estimativa superior do módulo do erro, podemos usar o máximo de e^{\xi} no intervalo [2{,}8,3{,}2]; o máximo ocorre em \xi=3{,}2. Vou usar o valor de f(3{,}2) que peguei da tabela, f(3{,}2)=24{,}53, como uma estimativa para \max e^{\xi} no intervalo (é coerente porque os valores da tabela são e^x aproximados).
Calcule o produto dos fatores:
|(3{,}1-2{,}8)(3{,}1-3{,}0)(3{,}1-3{,}2)|=|0{,}3\cdot 0{,}1\cdot(-0{,}1)|=0{,}003.
E 3!=6. Então a cota do erro é
|R_2(3{,}1)|\le \frac{24{,}53}{6}\cdot 0{,}003 =24{,}53\cdot 0{,}0005=0{,}012265.
Arredondando razoavelmente: |R_2(3{,}1)|\le 0{,}01227.

Passo 6

Verificação numérica rápida (opcional, para tranquilizar): o valor exato (mais preciso) de e^{3{,}1} é aproximadamente 22{,}197951\ldots, então o erro real da nossa aproximação é
P_2(3{,}1)-e^{3{,}1}\approx 22{,}20375-22{,}197951\approx 0{,}005799,
que está bem dentro da cota estimada 0{,}01227. Isso mostra que o procedimento funcionou e a cota é válida (às vezes a cota é pessimista; aqui ela é quase o dobro do erro real).
Força aí — dá pra fazer isso direitinho na prova seguindo estes passos!

Resposta

e^{3,1}\approx 22{,}20375
|\text{erro}| \le 0{,}01227

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