Calcule
lim n +infty sumi=1^n 2n[1+(2 in)^2]

Passo 1

O enunciado pede
limnto+inftysumi=1^n2nl[1+l(tfrac2inr)^2r]
que é um caso clássico de soma de Riemann convergindo para uma integral definida. Vamos usar a ideia de escrever a soma como sum f(xi),De<a x.

Passo 2

Observe que
2nl[1+(tfrac2in)^2r] =2ncdot11+l(tfrac2inr)^2
Definimos De<a x=tfrac2n e xi=tfrac2in. Então a soma fica
sumi=1^n f(xi),De<a x com f(x)=11+x^2

Passo 3

No limite ntoinfty, os xi variam de x1=2/napprox0 até xn=2. Assim a soma converge para a integral
integral0^211+x^2,dx

Passo 4

Sabemos que
integral11+x^2,dx=arctan(x)
Portanto
integral0^211+x^2,dx =arctan(2)-arctan(0) =arctan(2)

Resposta

arctan(2).

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