Calcule
\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\,i}
que envolve a raiz n-ésima de um número complexo. Para resolver, vamos usar a definição da raiz em termos do logaritmo complexo principal:
\sqrt[n]{z} = \exp\bigl(\tfrac{1}{n}\Log z\bigr),
onde \Log z = \ln|z| + i\,\Arg(z) com \Arg(z) no ramo principal.

Passo 2

Calcular \Log(n\,i). Como |n\,i|=n e \Arg(n\,i)=\Arg(i)=\tfrac{\pi}{2}, temos
\Log(n\,i)=\ln|n\,i|+i\,\Arg(n\,i)=\ln n + i\,\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Substituir no formato exponencial da raiz:
\sqrt[n]{n\,i} =\exp\Bigl(\tfrac{1}{n}\bigl(\ln n + i\,\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) =\exp\bigl(\tfrac{\ln n}{n}\bigr)\,\exp\bigl(i\,\tfrac{\pi}{2n}\bigr).

Passo 4

Analisar o limite de cada parte quando n\to\infty:
  • \displaystyle \frac{\ln n}{n}\to0, logo \exp\bigl(\tfrac{\ln n}{n}\bigr)\to1.
  • \displaystyle \frac{\pi}{2n}\to0, logo \exp\bigl(i\,\tfrac{\pi}{2n}\bigr)\to1.

Resposta

Logo
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n\,i}=1.

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