1. Sejam a, b \in \mathbb{C} tais que |a|=|b|>1. Prove que, se a sequência \left(a^{n}-b^{n}\right)_{n \geq 1} é limitada, então a=b.

Passo 1

O enunciado diz que temos a,b\in\mathbb{C} com \lvert a\rvert=\lvert b\rvert>1 e que a sequência
\bigl(a^n - b^n\bigr)_{n\ge1}
é limitada. Queremos mostrar que isso só pode acontecer se a=b. O conteúdo principal aqui é estudar o fator
a^n - b^n
e usar propriedades de sequências de números complexos de módulo 1.

Passo 2

Observe que podemos escrever
a^n - b^n = b^n\Bigl(\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^n - 1\Bigr).
Definimos
z = \frac{a}{b}.
Como \lvert a\rvert=\lvert b\rvert, segue \lvert z\rvert=1. Assim
a^n - b^n = b^n\,\bigl(z^n - 1\bigr).

Passo 3

Se \bigl(a^n - b^n\bigr) é limitada, existe M>0 tal que
\lvert a^n - b^n\rvert \le M \quad\forall n.
Dividindo por \lvert b\rvert^n, obtemos
\lvert z^n - 1\rvert = \bigl\lvert\tfrac{a^n - b^n}{b^n}\bigr\rvert \le \frac{M}{\lvert b\rvert^n}.
Como \lvert b\rvert>1, o termo \tfrac{M}{\lvert b\rvert^n} tende a 0 quando n\to\infty. Logo
\lim_{n\to\infty} z^n = 1.

Passo 4

Resta usar um fato clássico: se z\in\mathbb{C} satisfaz \lvert z\rvert=1 e a sequência \bigl(z^n\bigr) converge, então necessariamente z=1. De fato, para qualquer outro z=e^{i\theta} com \theta\not\equiv 0\pmod{2\pi}, os pontos z^n giram na circunferência unitária e não têm limite. Assim concluímos
z = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{b}=1 \quad\Longrightarrow\quad a=b.

Resposta

a=b.

Exercícios relacionados