Calcule
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{2}+6 x+8}{2 x^{2}-6 x-16}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to -2} \frac{x^{2}+6x+8}{2x^{2}-6x-16}.
Informações dadas: temos uma função racional (uma razão de polinômios) e o ponto de interesse é x=-2. Não há figura ou dado extra.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): para funções racionais — isto é, quociente de dois polinômios —, se o polinômio do denominador não se anula no ponto a (ou seja, se \text{denom}(a)\neq 0), a função é contínua naquele ponto e o limite quando x\to a é simplesmente o valor da função em a. Em fórmulas:
\text{Se }g(x)\text{ e }h(x)\text{ são polinômios e }h(a)\neq 0,\text{ então }\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g(a)}{h(a)}.ãôã
Se tivéssemos g(a)=0 e h(a)=0 teríamos a indeterminação 0/0 e aí precisaríamos fatorar, simplificar ou usar outro método (como derivadas — regra de L’Hôpital) para resolver o limite. Vou verificar qual caso temos aqui.

Passo 3

Calculo do numerador em x=-2. Avaliando passo a passo:
(-2)^{2}+6(-2)+8 = 4 -12 +8.
Somando:
4-12=-8,\quad -8+8=0.
Portanto o numerador em x=-2 é 0.

Passo 4

Calculo do denominador em x=-2. Avaliando passo a passo:
2(-2)^{2}-6(-2)-16 = 2\cdot 4 +12 -16.
Calculando:
2\cdot 4=8,\quad 8+12=20,\quad 20-16=4.
Portanto o denominador em x=-2 é 4, que é diferente de zero.

Passo 5

Conclusão usando a propriedade da Passo 2: como o numerador em x=-2 é 0 e o denominador em x=-2 é 4\neq 0, a função é contínua em x=-2 e o limite é simplesmente
\frac{0}{4}=0.

Passo 6

Comentário didático extra (para você usar em provas): quando encontrar um limite de uma razão de polinômios, primeiro substitua o ponto. Se der número finito/ não zero no denominador, pronto — esse é o limite. Se der 0/0, tente fatorar e cancelar fatores comuns; se isso não for prático, use regra de L’Hôpital (se aplicável). Exemplo rápido de caso 0/0: \lim_{x\to 2}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}=\lim_{x\to 2}\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\lim_{x\to 2}(x+2)=4.

Resposta

0

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