Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}-16 x}{x^{3}+2 x^{2}-8 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{x^{3}-16x}{x^{3}+2x^{2}-8x}.
Informações dadas:
\,x tende a 0.
A expressão é a razão entre dois polinômios: numerador x^{3}-16x e denominador x^{3}+2x^{2}-8x.
O objetivo é encontrar o valor desse limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Tento substituir x=0 diretamente para ver se dá para avaliar o limite por simples substituição:
\text{numerador: }0^{3}-16\cdot 0 = 0,
\text{denominador: }0^{3}+2\cdot 0^{2}-8\cdot 0 = 0.
Obtemos a forma 0/0, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar essa indeterminação.

Passo 3

Uma técnica comum é fatorar polinômios e simplificar cancelando fatores comuns. Primeiro fatoro um fator comum x em numerador e denominador:
x^{3}-16x = x\,(x^{2}-16),
x^{3}+2x^{2}-8x = x\,(x^{2}+2x-8).
Explicação: fatorar x significa escrever cada termo como x vezes outro termo; isso é válido para qualquer x. Como tínhamos a forma 0/0, era natural procurar esse fator óbvio.

Passo 4

Agora fatoro as quadráticas que restaram. Para x^{2}-16 reconhecemos uma diferença de quadrados:
x^{2}-16 = x^{2}-4^{2} = (x-4)(x+4).
Regra usada: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Para x^{2}+2x-8 procuro dois números que multiplicam -8 e somam 2. Esses números são 4 e -2. Assim:
x^{2}+2x-8 = (x+4)(x-2).
Portanto, a expressão original fica (para x tal que não dividimos por zero)
\frac{x\,(x-4)(x+4)}{x\,(x+4)(x-2)}.

Passo 5

Agora simplifico cancelando os fatores comuns. Podemos cancelar x e (x+4) desde que x\neq 0 e x\neq -4 (não podemos dividir por zero). Depois do cancelamento obtemos a função equivalente para x próximos de 0 (mas \neq 0):
\frac{x-4}{x-2}.
Justificativa: o limite \lim_{x\to 0} depende apenas dos valores da função em pontos próximos de 0 (mas diferentes de 0), portanto podemos substituir a função pela forma simplificada que coincide com a original nesses pontos próximos.

Passo 6

A função racional \dfrac{x-4}{x-2} é contínua em x=0 porque o denominador em x=0 vale -2\neq 0. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto. Logo podemos avaliar o limite por substituição direta na forma simplificada:
\lim_{x\to 0}\frac{x-4}{x-2} = \frac{0-4}{0-2} = \frac{-4}{-2} = 2.

Passo 7

(Como verificação alternativa — opcional) Poderíamos também aplicar a regra de L’Hôpital, já que tínhamos a forma indeterminada 0/0. Derivando numerador e denominador:
\text{num}'=3x^{2}-16,\qquad \text{den}'=3x^{2}+4x-8.
Avaliado em x=0:
\frac{3\cdot 0^{2}-16}{3\cdot 0^{2}+4\cdot 0-8}=\frac{-16}{-8}=2,
o mesmo resultado, conferindo que a simplificação algébrica estava correta.

Resposta

2

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