Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
tende a
.
A expressão é a razão entre dois polinômios: numerador e denominador
.
O objetivo é encontrar o valor desse limite quando se aproxima de
.
A expressão é a razão entre dois polinômios: numerador
O objetivo é encontrar o valor desse limite quando
Passo 2
Tento substituir
diretamente para ver se dá para avaliar o limite por simples substituição:
Obtemos a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso significa que não podemos concluir o valor do limite só pela substituição — precisamos manipular a expressão algébrica para eliminar essa indeterminação.
Passo 3
Uma técnica comum é fatorar polinômios e simplificar cancelando fatores comuns. Primeiro fatoro um fator comum
em numerador e denominador:
Explicação: fatorar
significa escrever cada termo como
vezes outro termo; isso é válido para qualquer
. Como tínhamos a forma
, era natural procurar esse fator óbvio.
Passo 4
Agora fatoro as quadráticas que restaram. Para
reconhecemos uma diferença de quadrados:
Regra usada:
.
Para
procuro dois números que multiplicam
e somam
. Esses números são
e
. Assim:
Portanto, a expressão original fica (para
tal que não dividimos por zero)
Passo 5
Agora simplifico cancelando os fatores comuns. Podemos cancelar
e
desde que
e
(não podemos dividir por zero). Depois do cancelamento obtemos a função equivalente para
próximos de
(mas
):
Justificativa: o limite
depende apenas dos valores da função em pontos próximos de
(mas diferentes de
), portanto podemos substituir a função pela forma simplificada que coincide com a original nesses pontos próximos.
Passo 6
A função racional
é contínua em
porque o denominador em
vale
. Para funções contínuas, o limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor da função naquele ponto. Logo podemos avaliar o limite por substituição direta na forma simplificada:
Passo 7
(Como verificação alternativa — opcional) Poderíamos também aplicar a regra de L’Hôpital, já que tínhamos a forma indeterminada
. Derivando numerador e denominador:
Avaliado em
:
o mesmo resultado, conferindo que a simplificação algébrica estava correta.
Resposta
2