6.2. Calcule

\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x-7}{x^{2}+1}
e determine a assíntota horizontal.
Solução. Dividindo por x^{2} :
\frac{5 x-7}{x^{2}+1}=\frac{\frac{5}{x}-\frac{7}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}
Quando x \rightarrow \infty, os termos 1 / x e 1 / x^{2} tendem a zero. Portanto,
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 x-7}{x^{2}+1}=\frac{0-0}{1+0}=0
A assíntota horizontal é
y=0 .

Passo 1

O enunciado dá a função racional
f(x)=\frac{5x-7}{x^{2}+1}
e pede duas coisas:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x-7}{x^{2}+1}.
  • Determinar a assíntota horizontal associada.

Passo 2

Ideia prática (explicação didática de por que funciona): quando se faz limite de uma função racional \dfrac{P(x)}{Q(x)} com P e Q polinômios, o comportamento quando x\to\infty é governado pelos graus de P e Q. Se \deg P<\deg Q então o numerador cresce mais devagar que o denominador e o limite é zero; se \deg P=\deg Q o limite é a razão dos coeficientes principais; se \deg P>\deg Q o quociente tende a \pm\infty (ou cresce como um polinômio). Aqui:
\deg(5x-7)=1,\qquad \deg(x^{2}+1)=2,
portanto \deg P<\deg Q e esperamos limite zero. Para mostrar isso de forma algébrica, dividimos numerator e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{2}.

Passo 3

Fazendo a divisão por x^{2} (isso é permitido enquanto x\neq0; para o comportamento em \infty isso é correto):
\frac{5x-7}{x^{2}+1}=\frac{\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}}{1+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Aqui cada termo ficou mais claro: aparecem \dfrac{5}{x}, \dfrac{7}{x^{2}} e \dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Analisando os termos quando x\to\infty:
  • \dfrac{5}{x}\to0 porque x cresce sem limite e 5/x tende a zero.
  • \dfrac{7}{x^{2}}\to0 porque x^{2} cresce ainda mais rápido.
  • \dfrac{1}{x^{2}}\to0.
Usando a propriedade de limites que permite tomar limite de soma e quociente (desde que o denominador não tenda a zero), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{5x-7}{x^{2}+1} = \frac{\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{5}{x}-\dfrac{7}{x^{2}}\right)}{\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)} = \frac{0-0}{1+0}=0.

Passo 5

Definição e conclusão sobre assíntota horizontal: uma reta y=L é assíntota horizontal quando \lim_{x\to\infty}f(x)=L ou \lim_{x\to-\infty}f(x)=L. Como encontramos
\lim_{x\to\infty}\frac{5x-7}{x^{2}+1}=0,
segue que existe assíntota horizontal dada por
y=0.
Observação adicional amigável: neste caso também \lim_{x\to-\infty}\frac{5x-7}{x^{2}+1}=0, então a mesma assíntota y=0 vale para os dois lados (é simplesmente o eixo x).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{5x-7}{x^{2}+1}=0
y=0

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