6.2. Calcule
e determine a assíntota horizontal.
Solução. Dividindo por
:
Quando
, os termos
e
tendem a zero. Portanto,
A assíntota horizontal é
Solução. Dividindo por
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas:
- Calcular
. - Determinar a assíntota horizontal associada.
Passo 2
Ideia prática (explicação didática de por que funciona): quando se faz limite de uma função racional
com
e
polinômios, o comportamento quando
é governado pelos graus de
e
. Se
então o numerador cresce mais devagar que o denominador e o limite é zero; se
o limite é a razão dos coeficientes principais; se
o quociente tende a
(ou cresce como um polinômio). Aqui:
portanto
e esperamos limite zero. Para mostrar isso de forma algébrica, dividimos numerator e denominador pela maior potência de
presente no denominador, que é
.
Passo 3
Fazendo a divisão por
(isso é permitido enquanto
; para o comportamento em
isso é correto):
Aqui cada termo ficou mais claro: aparecem
,
e
.
Passo 4
Analisando os termos quando
:
-
porque cresce sem limite e tende a zero. -
porque cresce ainda mais rápido. -
.
Usando a propriedade de limites que permite tomar limite de soma e quociente (desde que o denominador não tenda a zero), obtemos
Passo 5
Definição e conclusão sobre assíntota horizontal: uma reta
é assíntota horizontal quando
ou
. Como encontramos
segue que existe assíntota horizontal dada por
Observação adicional amigável: neste caso também
, então a mesma assíntota
vale para os dois lados (é simplesmente o eixo
).