6.3. Analise o comportamento de

\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}
quando x \rightarrow \infty e quando x \rightarrow-\infty. Há assíntota horizontal?
Solução. Para grandes valores de |x|, o termo dominante do numerador é x^{3} e o termo dominante do denominador é x^{2}. Assim, a função se comporta como
\frac{x^{3}}{x^{2}}=x
Mais formalmente, dividindo por x^{2} :
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=\frac{x+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{2}{x^{2}}}
Quando x \rightarrow \infty, o numerador tende a \infty e o denominador tende a 1 . Logo,
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=\infty
Quando x \rightarrow-\infty, o termo x tende a -\infty, então
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=-\infty
Portanto, não há assíntota horizontal, pois os limites no infinito não são finitos.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede para analisar o comportamento da função \displaystyle \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2} quando x \rightarrow \infty e quando x \rightarrow -\infty.
  • Pergunta explicitamente: “Há assíntota horizontal?”
  • Informação dada: a expressão algébrica \displaystyle \frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}.

Passo 2

Ideia chave (intuição que funciona na prova): comparar graus dos polinômios.
  • O numerador x^{3}+1 é um polinômio de grau 3. O termo dominante (para |x| grande) é x^{3}.
  • O denominador x^{2}+2 é de grau 2. O termo dominante é x^{2}.
    Quando x é muito grande em módulo, o quociente costuma se comportar como o quociente dos termos dominantes, isto é, como \dfrac{x^{3}}{x^{2}}=x. Isso já dá a ideia de que a função cresce (em módulo) como x, portanto tende a \pm\infty. Vou mostrar isso de forma algébrica segura (sem apelar só à intuição).

Passo 3

Forma algébrica padrão usada em provas: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador (aqui x^{2}). Fazendo isso obtemos
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=\frac{x+\dfrac{1}{x^{2}}}{1+\dfrac{2}{x^{2}}}.
Agora analisamos os limites das partes quando x\to\infty e x\to -\infty.

Passo 4

Cálculo dos limites usando a expressão acima:
  • Para x\to\infty: \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{2}{x^{2}}\to 0. Assim o numerador \displaystyle x+\dfrac{1}{x^{2}}\to\infty (porque \,x\to\infty) e o denominador \displaystyle 1+\dfrac{2}{x^{2}}\to 1. Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=\infty.
  • Para x\to -\infty: \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 e \dfrac{2}{x^{2}}\to 0 novamente, mas agora x\to -\infty, então o numerador \displaystyle x+\dfrac{1}{x^{2}}\to -\infty enquanto o denominador tende a 1. Logo
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=-\infty.
Esses resultados confirmam rigorosamente a intuição do Passo 2.

Passo 5

Assíntota horizontal? Definição curta: existe assíntota horizontal em +\infty se \lim_{x\to\infty} f(x) é finito; em -\infty se \lim_{x\to -\infty} f(x) é finito. Aqui os limites são \infty e -\infty, ou seja, não são números finitos. Portanto não existe assíntota horizontal (nem para +\infty nem para -\infty).

Passo 6

Observação útil na prova (bônus prático): quando o grau do numerador é exatamente um maior que o do denominador (aqui grau 3 versus grau 2), a função costuma ter uma assíntota oblíqua (reta) do tipo y=ax+b. Para encontrar essa reta, faz-se divisão polinomial ou escreve-se
\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=x+\frac{-2x+1}{x^{2}+2},
obtido dividindo x^{3}+1 por x^{2}+2: o quociente é x e o resto é -2x+1. O termo \dfrac{-2x+1}{x^{2}+2} tende a 0 quando x\to\pm\infty (porque numerador cresce como x e denominador como x^{2}, dando algo da ordem de 1/x). Assim
\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^{3}+1}{x^{2}+2}-x\right)=0,
logo existe assíntota oblíqua y=x. Dica de prova: em questões sobre assíntotas, sempre compare graus; se grau(num) \le grau(den) pode haver assíntota horizontal; se grau(num) = grau(den)+1 procure assíntota oblíqua por divisão; se grau(num) > grau(den)+1 a curva se afasta mais rapidamente.

Resposta

\lim_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=\infty
\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+2}=-\infty
Assíntota horizontal: não existe.
Assíntota oblíqua: y=x.

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