6.3. Analise o comportamento de
quando
e quando
. Há assíntota horizontal?
Solução. Para grandes valores de
, o termo dominante do numerador é
e o termo dominante do denominador é
. Assim, a função se comporta como
Mais formalmente, dividindo por
:
Quando
, o numerador tende a
e o denominador tende a 1 . Logo,
Quando
, o termo
tende a
, então
Portanto, não há assíntota horizontal, pois os limites no infinito não são finitos.
Solução. Para grandes valores de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede para analisar o comportamento da função
quando e quando . - Pergunta explicitamente: “Há assíntota horizontal?”
- Informação dada: a expressão algébrica
.
Passo 2
Ideia chave (intuição que funciona na prova): comparar graus dos polinômios.
- O numerador
é um polinômio de grau . O termo dominante (para grande) é . - O denominador
é de grau . O termo dominante é .
Quandoé muito grande em módulo, o quociente costuma se comportar como o quociente dos termos dominantes, isto é, como . Isso já dá a ideia de que a função cresce (em módulo) como , portanto tende a . Vou mostrar isso de forma algébrica segura (sem apelar só à intuição).
Passo 3
Forma algébrica padrão usada em provas: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador (aqui
). Fazendo isso obtemos
Agora analisamos os limites das partes quando
e
.
Passo 4
Cálculo dos limites usando a expressão acima:
- Para
: e . Assim o numerador (porque ) e o denominador . Portanto
- Para
: e novamente, mas agora , então o numerador enquanto o denominador tende a . Logo
Esses resultados confirmam rigorosamente a intuição do Passo 2.
Passo 5
Assíntota horizontal? Definição curta: existe assíntota horizontal em
se
é finito; em
se
é finito. Aqui os limites são
e
, ou seja, não são números finitos. Portanto não existe assíntota horizontal (nem para
nem para
).
Passo 6
Observação útil na prova (bônus prático): quando o grau do numerador é exatamente um maior que o do denominador (aqui grau
versus grau
), a função costuma ter uma assíntota oblíqua (reta) do tipo
. Para encontrar essa reta, faz-se divisão polinomial ou escreve-se
obtido dividindo
por
: o quociente é
e o resto é
. O termo
tende a
quando
(porque numerador cresce como
e denominador como
, dando algo da ordem de
). Assim
logo existe assíntota oblíqua
. Dica de prova: em questões sobre assíntotas, sempre compare graus; se grau(num)
grau(den) pode haver assíntota horizontal; se grau(num) = grau(den)+1 procure assíntota oblíqua por divisão; se grau(num) > grau(den)+1 a curva se afasta mais rapidamente.
Resposta
Assíntota horizontal: não existe.
Assíntota oblíqua: