b) Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \operatorname{sen}\left(x^{5}+7 x^{4}+3 x^{2}+\pi / 2\right).

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{x\to0}\sin\bigl(x^{5}+7x^{4}+3x^{2}+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Aqui vamos usar que a função seno é contínua em todo \mathbb{R} e que limites de soma e de constantes são fáceis de obter.

Passo 2

Calcular o limite do argumento da função seno:
\lim_{x\to0}\bigl(x^{5}+7x^{4}+3x^{2}+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\lim_{x\to0}x^{5}+7\lim_{x\to0}x^{4}+3\lim_{x\to0}x^{2}+\tfrac{\pi}{2} =0+0+0+\tfrac{\pi}{2} =\tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Como \sin é contínua em \tfrac{\pi}{2}, tem-se
\lim_{x\to0}\sin\bigl(x^{5}+7x^{4}+3x^{2}+\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\sin\!\bigl(\lim_{x\to0}(x^{5}+7x^{4}+3x^{2}+\tfrac{\pi}{2})\bigr) =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) =1.

Resposta

1

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