d) Mostre que não existe \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{x\to0}\frac{1}{x}
não existe. Aqui vamos usar o conceito de limite bilateral: para a existência de \lim_{x\to0}f(x) é necessário e suficiente que existam os limites laterais \lim_{x\to0^+}f(x) e \lim_{x\to0^-}f(x) e que eles sejam iguais.

Passo 2

Calculemos o limite lateral pela direita, isto é,
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}.
Quando x é um número positivo muito pequeno, 1/x fica muito grande e positivo. Logo
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty.

Passo 3

Agora calculemos o limite lateral pela esquerda, isto é,
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}.
Quando x é um número negativo muito pequeno, 1/x fica muito grande em módulo mas negativo. Logo
\lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty.

Passo 4

Como os dois limites laterais são diferentes +\infty\neq -\infty, a condição necessária para a existência do limite bilateral não se satisfaz. Portanto

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1}{x} não existe.

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