Calcule:
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 t} \vec{i}+\frac{t^{2}}{2} t \vec{j}+\cos (2 t) \vec{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t\to 0 do vetor
e^{-3 t} \vec{i}+\frac{t^{2}}{2} t \vec{j}+\cos (2 t) \vec{k}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função vetorial tem três componentes (coeficientes de \vec{i},\vec{j},\vec{k}).
  • A componente associada a \vec{i} é e^{-3t} (venho do enunciado).
  • A componente associada a \vec{j} escrita no enunciado é \frac{t^{2}}{2} t. Interpretando literalmente essa expressão, ela é igual a \frac{t^{3}}{2} (peguei essa expressão do enunciado).
  • A componente associada a \vec{k} é \cos(2t) (peguei essa expressão do enunciado).
  • O que se pede: calcular \displaystyle \lim_{t\to 0} desse vetor.

Passo 2

Princípio usado (explicado de forma simples e intuitiva): o limite de uma função vetorial é obtido componente a componente. Ou seja, se uma função vetorial é
\vec{r}(t)=x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}+z(t)\,\vec{k},
e se existem os limites \lim_{t\to 0}x(t), \lim_{t\to 0}y(t) e \lim_{t\to 0}z(t), então
\lim_{t\to 0}\vec{r}(t)=\left(\lim_{t\to 0}x(t)\right)\vec{i}+\left(\lim_{t\to 0}y(t)\right)\vec{j}+\left(\lim_{t\to 0}z(t)\right)\vec{k}.
Intuição curta: a distância entre \vec{r}(t) e o vetor limite mede-se pelas diferenças nas componentes; se cada diferença vai para zero, a distância vai para zero. Portanto podemos calcular o limite separando as três componentes.

Passo 3

Calcular a componente em \vec{i}:
\lim_{t\to 0} e^{-3t}.
Justificativa didática: a função exponencial é contínua, ou simplesmente faça a substituição u=-3t. Quando t\to 0 tem-se u\to 0 e \lim_{u\to 0} e^{u}=1. Assim
\lim_{t\to 0} e^{-3t}=1.
Uma outra visão (série) é e^{-3t}=1-3t+O(t^{2}), que também mostra que tende a 1.

Passo 4

Calcular a componente em \vec{j}:
\lim_{t\to 0} \frac{t^{3}}{2}.
Justificativa didática: polinômios são contínuos, logo basta substituir t=0. Temos
\lim_{t\to 0} \frac{t^{3}}{2}=\frac{0^{3}}{2}=0.

Passo 5

Calcular a componente em \vec{k}:
\lim_{t\to 0} \cos(2t).
Justificativa didática: a função cosseno é contínua, então basta substituir t=0. Assim
\lim_{t\to 0} \cos(2t)=\cos(0)=1.
Alternativa (série): \cos(2t)=1-\dfrac{(2t)^{2}}{2}+O(t^{4})=1-2t^{2}+O(t^{4}), portanto tende a 1.

Passo 6

Juntando as três componentes (usando o princípio do Passo 2): os limites das componentes são 1 (para \vec{i}), 0 (para \vec{j}) e 1 (para \vec{k}). Portanto o limite da função vetorial existe e é o vetor cujas componentes são esses valores.

Resposta

\vec{i}+\vec{k}

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