Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
do vetor
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função vetorial tem três componentes (coeficientes de
). - A componente associada a
é (venho do enunciado). - A componente associada a
escrita no enunciado é . Interpretando literalmente essa expressão, ela é igual a (peguei essa expressão do enunciado). - A componente associada a
é (peguei essa expressão do enunciado). - O que se pede: calcular
desse vetor.
Passo 2
Princípio usado (explicado de forma simples e intuitiva): o limite de uma função vetorial é obtido componente a componente. Ou seja, se uma função vetorial é
e se existem os limites
,
e
, então
Intuição curta: a distância entre
e o vetor limite mede-se pelas diferenças nas componentes; se cada diferença vai para zero, a distância vai para zero. Portanto podemos calcular o limite separando as três componentes.
Passo 3
Calcular a componente em
:
Justificativa didática: a função exponencial é contínua, ou simplesmente faça a substituição
. Quando
tem-se
e
. Assim
Uma outra visão (série) é
, que também mostra que tende a
.
Passo 4
Calcular a componente em
:
Justificativa didática: polinômios são contínuos, logo basta substituir
. Temos
Passo 5
Calcular a componente em
:
Justificativa didática: a função cosseno é contínua, então basta substituir
. Assim
Alternativa (série):
, portanto tende a
.
Passo 6
Juntando as três componentes (usando o princípio do Passo 2): os limites das componentes são
(para
),
(para
) e
(para
). Portanto o limite da função vetorial existe e é o vetor cujas componentes são esses valores.