Calcule:
\lim _{t \rightarrow 1}\left(\frac{t^{2}-t}{t-1} \vec{i}+\sqrt{t+8} \vec{j}+\frac{(\pi t)}{\ln t} \vec{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando t \rightarrow 1 do vetor
\frac{t^{2}-t}{t-1}\,\vec{i}+\sqrt{t+8}\,\vec{j}+\frac{\pi t}{\ln t}\,\vec{k}.
As informações dadas são exatamente os três componentes escalares do vetor, dependentes de t. A pergunta é: qual é o limite vetor quando t tende a 1? Vou analisar cada componente separadamente porque o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes (quando esses limites existem).

Passo 2

Calcular a primeira componente \displaystyle \frac{t^{2}-t}{t-1} quando t\to1.
Primeiro observe que para t\neq1 podemos fatorar o numerador:
t^{2}-t = t(t-1).
Logo, para t\neq1,
\frac{t^{2}-t}{t-1}=\frac{t(t-1)}{t-1}=t.
Portanto a expressão é igual a t para todo t\neq1. Como t\to1, fica claro que a primeira componente tende a
\lim_{t\to1}\frac{t^{2}-t}{t-1}=\lim_{t\to1} t = 1.
(Dica rápida: sempre que aparecer uma forma com fator (t-1) no numerador e no denominador, tente fatorar e simplificar antes de aplicar o limite.)

Passo 3

Calcular a segunda componente \sqrt{t+8} quando t\to1.
A função f(t)=\sqrt{t+8} é contínua no ponto t=1 (raízes quadradas são contínuas onde estão definidas). Para funções contínuas vale que o limite é o valor da função no ponto:
\lim_{t\to1}\sqrt{t+8}=\sqrt{1+8}=\sqrt{9}=3.

Passo 4

Analisar a terceira componente \displaystyle \frac{\pi t}{\ln t} quando t\to1.
Aqui temos uma forma do tipo constante dividido por algo que tende a 0: o numerador \pi t tende a \pi quando t\to1, enquanto o denominador \ln t tende a 0. Isso indica potencial divergência. Para ver melhor o comportamento, é útil fazer a mudança t=1+h com h\to0. Usando a série de Taylor de \ln(1+h) em torno de h=0:
\ln(1+h)=h-\tfrac{h^{2}}{2}+o(h).
Então
\frac{\pi t}{\ln t}=\frac{\pi(1+h)}{\ln(1+h)}=\frac{\pi(1+h)}{h\bigl(1-\tfrac{h}{2}+o(1)\bigr)} =\pi\cdot\frac{1+h}{h}\cdot\frac{1}{1-\tfrac{h}{2}+o(1)}.
Para h pequeno isso comporta-se como
\pi\left(\frac{1}{h} + \text{termos limitados}\right),
portanto o termo principal diverge quando h\to0 (isto é, quando t\to1). Mais diretamente, basta notar o sinal de \ln t:
  • Se t\to1^{+} então \ln t>0 e muito pequeno, logo \dfrac{\pi t}{\ln t}\to +\infty.
  • Se t\to1^{-} então \ln t<0 e muito pequeno (em módulo), logo \dfrac{\pi t}{\ln t}\to -\infty.
Como os limites laterais não coincidem (um vai a +\infty e o outro a -\infty), o limite usual (finito) da terceira componente não existe — na verdade ela diverge com sinais opostos nas duas direções.

Passo 5

Combinar os resultados componentes por componentes.
Das componentes já achadas:
  • primeira componente tende a 1;
  • segunda componente tende a 3;
  • terceira componente diverge (não tem limite finito) e seus limites laterais são de sinais opostos.
Para que o limite vetor exista (no sentido usual em \mathbb{R}^{3}) é necessário que todas as componentes tenham limite finito e igual às respectivas componentes do vetor limite. Como a terceira componente não tem limite finito, o limite vetor não existe.
É possível descrever os limites laterais do vetor:
\lim_{t\to1^{+}}\left(\frac{t^{2}-t}{t-1}\,\vec{i}+\sqrt{t+8}\,\vec{j}+\frac{\pi t}{\ln t}\,\vec{k}\right)=(1,\,3,\,+\infty),
\lim_{t\to1^{-}}\left(\frac{t^{2}-t}{t-1}\,\vec{i}+\sqrt{t+8}\,\vec{j}+\frac{\pi t}{\ln t}\,\vec{k}\right)=(1,\,3,\,-\infty).

Resposta

O limite não existe (a componente em \vec{k} diverge); limites laterais: (1,3,+\infty) para t\to1^{+} e (1,3,-\infty) para t\to1^{-}.

Exercícios relacionados