Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
do vetor
As informações dadas são exatamente os três componentes escalares do vetor, dependentes de
. A pergunta é: qual é o limite vetor quando
tende a
? Vou analisar cada componente separadamente porque o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes (quando esses limites existem).
Passo 2
Calcular a primeira componente
quando
.
Primeiro observe que para
podemos fatorar o numerador:
Logo, para
,
Portanto a expressão é igual a
para todo
. Como
, fica claro que a primeira componente tende a
(Dica rápida: sempre que aparecer uma forma com fator
no numerador e no denominador, tente fatorar e simplificar antes de aplicar o limite.)
Passo 3
Calcular a segunda componente
quando
.
A função
é contínua no ponto
(raízes quadradas são contínuas onde estão definidas). Para funções contínuas vale que o limite é o valor da função no ponto:
Passo 4
Analisar a terceira componente
quando
.
Aqui temos uma forma do tipo constante dividido por algo que tende a
: o numerador
tende a
quando
, enquanto o denominador
tende a
. Isso indica potencial divergência. Para ver melhor o comportamento, é útil fazer a mudança
com
. Usando a série de Taylor de
em torno de
:
Então
Para
pequeno isso comporta-se como
portanto o termo principal diverge quando
(isto é, quando
). Mais diretamente, basta notar o sinal de
:
- Se
então e muito pequeno, logo . - Se
então e muito pequeno (em módulo), logo .
Como os limites laterais não coincidem (um vai a
e o outro a
), o limite usual (finito) da terceira componente não existe — na verdade ela diverge com sinais opostos nas duas direções.
Passo 5
Combinar os resultados componentes por componentes.
Das componentes já achadas:
- primeira componente tende a
; - segunda componente tende a
; - terceira componente diverge (não tem limite finito) e seus limites laterais são de sinais opostos.
Para que o limite vetor exista (no sentido usual em
) é necessário que todas as componentes tenham limite finito e igual às respectivas componentes do vetor limite. Como a terceira componente não tem limite finito, o limite vetor não existe.
É possível descrever os limites laterais do vetor:
Resposta
O limite não existe (a componente em
diverge); limites laterais:
para
e
para
.