Calcule: lim x 0^+ 5x-x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0^+ 5x - x^2. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com limites que envolvem funções racionais. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0 pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração: x - x^2 = x(1 - x) . Podemos fatorar 5x - x^2 = 5x(1 - x) de ambos os termos:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece com o denominador quando se aproxima de 0 pela direita, ou seja, .
  • Quando é muito pequeno e positivo, está muito próximo de 1.
  • Portanto, se comporta como , que está se aproximando de 0.

Passo 4

Como o denominador está se aproximando de 0 positivo (já que é positivo e está perto de 1), a fração inteira está se comportando como .

Passo 5

Sabemos que, quando 5x +infty quando x 0^+ se aproxima de 0 pela direita, tende ao infinito positivo. Multiplicando por 5, o comportamento é o mesmo:

Resposta

lim x 0^+ 5x - x^2 = +infty

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