Verifique se a função dada em cada uma das sentenças abaixo é contínua.
h(x)=lx^5-4 x^3-1, se x<0, 2 x^11-5 x^7-1, se 0 <= x<1, 2 x^7-7 x^4+1, se x >= 1

Passo 1

Então, a gente tem uma função chamada que muda de expressão dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é verificar se essa função é contínua em todos os pontos. A matéria que vamos usar é a continuidade de funções, e vamos precisar analisar os limites nas pontas onde a função muda de expressão, ou seja, em e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que funções polinomiais, como as que estão dentro de cada pedaço da , são contínuas em todo lugar. Isso significa que dentro de cada intervalo definido ( , , e ), a função é contínua.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a função é contínua nos pontos onde muda de expressão, ou seja, em e . Para isso, vamos calcular os limites laterais e ver se eles coincidem com o valor da função nesses pontos.

Passo 4

Vamos começar com limx to 0^- h(x) = 0^5 - 4 cdot 0^3 - 1 = -1 :
  • Quando limx to 0^+ h(x) = 2 cdot 0^11 - 5 cdot 0^7 - 1 = -1 se aproxima de 0 pela esquerda ( h(0) = 2 cdot 0^11 - 5 cdot 0^7 - 1 = -1 ), usamos a primeira expressão: .
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ), usamos a segunda expressão: .
  • O valor da função em usando a segunda expressão é:
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função, é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar em limx to 1^- h(x) = 2 cdot 1^11 - 5 cdot 1^7 - 1 = 2 - 5 - 1 = -4 :
  • Quando limx to 1^+ h(x) = 2 cdot 1^7 - 7 cdot 1^4 + 1 = 2 - 7 + 1 = -4 se aproxima de 1 pela esquerda ( h(1) = 2 cdot 1^7 - 7 cdot 1^4 + 1 = 2 - 7 + 1 = -4 ), usamos a segunda expressão: .
  • Quando se aproxima de 1 pela direita ( ), usamos a terceira expressão: .
  • O valor da função em usando a terceira expressão é:
Novamente, os limites laterais são iguais e coincidem com o valor da função, então é contínua em .

Resposta

A função é contínua em todo o seu domínio.

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