Calcule \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot \operatorname{cotg}(x)}{\cos x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a zero:
\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot \operatorname{cotg}(x)}{\cos x}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve as funções trigonométricas \operatorname{cotg}(x), \cos x e \sin x (esta última aparecerá ao usar a definição de \operatorname{cotg}).
  • O limite é pontual em x=0, precisamos avaliar o comportamento da expressão quando x se aproxima de zero tanto pela direita quanto pela esquerda.

Passo 2

Primeira simplificação algébrica: lembrar a definição de \operatorname{cotg}.
\operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos x}{\sin x}.
Substituindo isso na expressão do limite temos
\frac{x\cdot \operatorname{cotg}(x)}{\cos x} = \frac{x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}}{\cos x}.

Passo 3

Continuando a simplificação, observe que há um fator \cos x no numerador e outro no denominador que se cancelam (desde que \cos x\neq0; para x próximo de 0 isso vale sem problema):
\frac{x\cdot \dfrac{\cos x}{\sin x}}{\cos x} = \frac{x}{\sin x}.
Portanto o limite pedido reduz-se a
\lim_{x\to 0} \frac{x\cdot \operatorname{cotg}(x)}{\cos x} = \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin x}.

Passo 4

Agora precisamos calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}. Para isso usamos um fato padrão sobre seno: o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1
é conhecido e muito usado. Vou explicar de forma geométrica e simples por que isso vale (é um argumento clássico com desigualdades).
Considere x positivo pequeno (medido em radianos) e o círculo unitário. Pelas relações geométricas de arcos, triângulos e setores, obtém-se as desigualdades
\sin x < x < \tan x \qquad\text{para } 0<x<\frac{\pi}{2}.
Dividindo tudo por \sin x (positivo nesse intervalo) dá
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo a desigualdade original de forma conveniente (ou alternativamente dividir \sin x<x por x) obtém-se também
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1,
que é a forma que geralmente se usa para aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pelas desigualdades temos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Do resultado anterior segue que o recíproco também converge para 1, isto é,
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1,
porque se a sequência (ou função) a(x)=\dfrac{\sin x}{x} tende a 1 e a(x)\neq 0 perto de zero, então 1/a(x) também tende a 1.
Observação sobre ambos os lados: a propriedade vale tanto para x\to 0^+ quanto para x\to 0^- (a função \dfrac{\sin x}{x} é par), logo o limite bilateral existe e é 1.

Passo 6

Voltando à expressão original, já mostramos que ela se simplifica para \dfrac{x}{\sin x} e que esse limite é 1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x\cdot \operatorname{cotg}(x)}{\cos x}=1.

Resposta

1

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