Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a zero:
Informações dadas:
- A expressão envolve as funções trigonométricas
, e (esta última aparecerá ao usar a definição de ). - O limite é pontual em
, precisamos avaliar o comportamento da expressão quando se aproxima de zero tanto pela direita quanto pela esquerda.
Passo 2
Primeira simplificação algébrica: lembrar a definição de
.
Substituindo isso na expressão do limite temos
Passo 3
Continuando a simplificação, observe que há um fator
no numerador e outro no denominador que se cancelam (desde que
; para
próximo de
isso vale sem problema):
Portanto o limite pedido reduz-se a
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Para isso usamos um fato padrão sobre seno: o limite
é conhecido e muito usado. Vou explicar de forma geométrica e simples por que isso vale (é um argumento clássico com desigualdades).
Considere
positivo pequeno (medido em radianos) e o círculo unitário. Pelas relações geométricas de arcos, triângulos e setores, obtém-se as desigualdades
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) dá
Invertendo a desigualdade original de forma conveniente (ou alternativamente dividir
por
) obtém-se também
que é a forma que geralmente se usa para aplicar o Teorema do Confronto (squeeze theorem). Como
, pelas desigualdades temos
Passo 5
Do resultado anterior segue que o recíproco também converge para
, isto é,
porque se a sequência (ou função)
tende a
e
perto de zero, então
também tende a
.
Observação sobre ambos os lados: a propriedade vale tanto para
quanto para
(a função
é par), logo o limite bilateral existe e é
.
Passo 6
Voltando à expressão original, já mostramos que ela se simplifica para
e que esse limite é
. Portanto