Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite quando x se aproxima de -1 da expressão
\frac{x+1}{x-1}.
Informações dadas:
  • A função cuja limite se quer é f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}.
  • O ponto de aproximação é x\to-1.
  • A tarefa é encontrar \displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{x-1}.

Passo 2

Ideia-chave (fórmula e razão): existe uma regra simples que facilita muito esses limites. Se p(x) e q(x) são polinômios (funções polinomiais) e q(a)\neq0, então
\lim_{x\to a}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(a)}{q(a)}.
Explicação dessa regra de forma simples: polinômios são funções contínuas, ou seja, o limite quando x tende a a é exatamente o valor no ponto. A razão (quociente) de duas funções contínuas é contínua no ponto em que o denominador não zera. Portanto, basta verificar que o denominador não é zero em x=a e então podemos substituir x=a diretamente.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso:
calculo o numerador em x=-1:
(-1)+1=0.
calculo o denominador em x=-1:
(-1)-1=-2.
Como o denominador é -2, que é diferente de zero, a regra do passo anterior vale: podemos substituir x=-1 diretamente na expressão para obter o limite.

Passo 4

Aplicação direta da substituição (pela continuidade/leis de limite):
\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{x-1}=\frac{0}{-2}=0.
Também dá para ver via leis de limite: \lim_{x\to-1}(x+1)=0 e \lim_{x\to-1}(x-1)=-2 e, como o limite do denominador é diferente de zero, o limite do quociente é o quociente dos limites.

Passo 5

Dica prática para a prova (pegar confiança): sempre que aparecer uma razão de polinômios, primeiro calcule os valores do numerador e denominador no ponto de interesse. Se o denominador não for zero, o limite é simplesmente a divisão dos valores. Exemplos rápidos:
\lim_{x\to2}\frac{x-2}{x+5}=\frac{0}{7}=0, \qquad \lim_{x\to3}\frac{x^2-9}{x-1}=\frac{0}{2}=0.
Isso acelera bastante na hora da prova.

Resposta

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