Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\log _{5}\left(1 / x^{2}\right)\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\log_{5}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right).
Informações dadas:
  • A função considerada é x\mapsto \log_{5}\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right).
  • A variável x tende a 0 (pelos dois lados, direita e esquerda).
    O que é pedido: determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor (pode ser um número finito ou +\infty ou -\infty).

Passo 2

Observação sobre a parte interior da função: para x\neq 0 vale x^{2}>0, logo \dfrac{1}{x^{2}}>0. Quando x\to 0 temos |x|\to 0, portanto x^{2}\to 0^{+}. Como x^{2} tende a 0 por valores positivos, o recíproco tende a +\infty. Em termos formais: dado qualquer M>0, escolha \delta = 1/\sqrt{M}. Se 0<|x|<\delta então
\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{\delta^{2}}=M,
portanto \dfrac{1}{x^{2}}\to+\infty quando x\to 0.

Passo 3

Agora relaciono isso com o logaritmo. Uso a fórmula de mudança de base do logaritmo:
\log_{5}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=\frac{\ln\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)}{\ln 5}.
Aqui \ln é o logaritmo natural e \ln 5>0. Como \dfrac{1}{x^{2}}\to+\infty, pelo comportamento do logaritmo natural (que é crescente e \ln t\to+\infty quando t\to+\infty) segue que
\ln\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\to+\infty.

Passo 4

Podemos escrever a expressão de uma forma alternativa e talvez mais intuitiva:
\ln\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)=-\ln(x^{2})=-2\ln|x|.
Quando x\to 0 temos \ln|x|\to -\infty, então -2\ln|x|\to +\infty. Dividindo por \ln 5>0 não troca o sentido da divergência, logo
\frac{-2\ln|x|}{\ln 5}\to +\infty.

Passo 5

Concluímos que \log_{5}\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right) cresce sem limite quando x\to 0. Em linguagem de limites: o limite não é um número finito, ele diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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