Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - A variável
tende a (pelos dois lados, direita e esquerda).
O que é pedido: determinar se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor (pode ser um número finito ouou ).
Passo 2
Observação sobre a parte interior da função: para
vale
, logo
. Quando
temos
, portanto
. Como
tende a
por valores positivos, o recíproco tende a
. Em termos formais: dado qualquer
, escolha
. Se
então
portanto
quando
.
Passo 3
Agora relaciono isso com o logaritmo. Uso a fórmula de mudança de base do logaritmo:
Aqui
é o logaritmo natural e
. Como
, pelo comportamento do logaritmo natural (que é crescente e
quando
) segue que
Passo 4
Podemos escrever a expressão de uma forma alternativa e talvez mais intuitiva:
Quando
temos
, então
. Dividindo por
não troca o sentido da divergência, logo
Passo 5
Concluímos que
cresce sem limite quando
. Em linguagem de limites: o limite não é um número finito, ele diverge para
.