Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} 5^{\frac{1}{x+3}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite lateral
\lim_{x\to 3^{+}} 5^{\frac{1}{x+3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função considerada é f(x)=5^{\frac{1}{x+3}}.
  • O limite é quando x tende a 3 pela direita (ou seja, por valores x>3 que se aproximam de 3).
  • Para avaliar o limite da expressão composta, precisamos acompanhar o comportamento do expoente \dfrac{1}{x+3} quando x\to3^{+}.

Passo 2

Calcular o limite do termo mais simples: x+3 quando x\to3^{+}.
\lim_{x\to3^{+}} (x+3) = 3+3 = 6.
Explicação: somar uma constante é uma operação contínua, então ao aproximar x de 3 o resultado aproxima-se de 6.

Passo 3

Calcular o limite do recíproco \dfrac{1}{x+3} usando que a função reciprocidade t\mapsto \dfrac{1}{t} é contínua em t=6 (pois 6\neq0).
\lim_{x\to3^{+}} \frac{1}{x+3} = \frac{1}{\lim_{x\to3^{+}}(x+3)}=\frac{1}{6}.
Comentário didático: quando a função interior tem limite não nulo, pode-se passar o limite para dentro da função recíproca — isso é uso da continuidade da função t\mapsto 1/t.

Passo 4

Agora avaliamos o limite da função exponencial composta. A função g(u)=5^{u} é contínua para todo u\in\mathbb{R} (base positiva fixa). Logo, aplicando a continuidade à composição:
\lim_{x\to3^{+}} 5^{\frac{1}{x+3}} = 5^{\lim_{x\to3^{+}}\frac{1}{x+3}} = 5^{\frac{1}{6}}.
Explicação didática: continuidade significa que o limite da imagem é a imagem do limite. Como o expoente tende a \tfrac{1}{6}, a potência tende a 5^{1/6}.

Passo 5

(Observação alternativa, útil na prova) Usando logaritmo natural para justificar passo a passo: defina y(x)=5^{\frac{1}{x+3}}. Então
\ln y(x)=\frac{1}{x+3}\ln 5.
Como \lim_{x\to3^{+}}\dfrac{1}{x+3}=\dfrac{1}{6}, segue
\lim_{x\to3^{+}}\ln y(x)=\frac{1}{6}\ln 5.
Aplicando exponenciação (função contínua) obtemos
\lim_{x\to3^{+}} y(x)=\exp\!\left(\frac{1}{6}\ln 5\right)=5^{\frac{1}{6}}.
Isso dá a mesma resposta e às vezes é a forma exigida quando se trabalha com potências cujo expoente envolve uma expressão.

Passo 6

Conclusão e verificação rápida: a função está bem definida em torno de x=3 (exceto em x=-3, que não é relevante aqui), o limite lateral existe e é igual a 5^{1/6}. Portanto o resultado está confirmado.

Resposta

5^{\frac{1}{6}}

Exercícios relacionados