Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} 5^{\frac{1}{x+3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a seguinte limite unilateral:
\lim_{x\to 3^-} 5^{\frac{1}{x+3}}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função a ser analisada é x \mapsto 5^{\frac{1}{x+3}}.
  • O ponto de interesse é x=3, e a aproximação é pela esquerda (valores de x menores que 3).
  • A base da potência é 5, que é um número positivo e diferente de 1.
    A partir daqui vou analisar passo a passo o comportamento do expoente e usar propriedades de limites e continuidade para chegar no resultado.

Passo 2

Primeiro vou estudar o comportamento do termo interno x+3 quando x\to 3^-.
Como soma e subtração são operações contínuas, temos diretamente
\lim_{x\to 3^-} (x+3) = 3+3 = 6.
Isto significa que, ao nos aproximarmos de 3 pela esquerda, o valor de x+3 se aproxima de 6.

Passo 3

Agora trato do expoente \dfrac{1}{x+3}. Uma propriedade básica de limites é: se \lim_{x\to a} h(x)=L e L\neq 0, então \lim_{x\to a} \dfrac{1}{h(x)}=\dfrac{1}{L}. Aqui h(x)=x+3 e L=6\neq 0, portanto
\lim_{x\to 3^-} \frac{1}{x+3} = \frac{1}{6}.
Intuição adicional (útil em provas e compreensão): para x<3 temos x+3<6, logo \dfrac{1}{x+3}>\dfrac{1}{6}; à medida que x aumenta para 3 pela esquerda, esse valor decresce para \dfrac{1}{6}. Então o limite vem por cima e é \dfrac{1}{6}.

Passo 4

Agora uso a continuidade da função exponencial t\mapsto 5^{t} em pontos reais (para qualquer base positiva a diferente de 1, a função t\mapsto a^t é contínua). A definição prática de continuidade que usamos aqui: se \lim_{x\to a} t(x)=T e f é contínua em T, então \lim_{x\to a} f(t(x)) = f(T). Aplicando essa propriedade à composição f(t)=5^{t} com t(x)=\dfrac{1}{x+3}, como já mostramos em
\lim_{x\to 3^-} 5^{\frac{1}{x+3}} = 5^{\frac{1}{6}}.
Podemos também escrever esse resultado como a raiz sexta de 5:
5^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{5}.

Resposta

\,5^{\tfrac{1}{6}} = \sqrt[6]{5}\,

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