Calcule.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x}{x^{2}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende ao infinito da função racional abaixo:
\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}+2x+1}.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão a ser analisada é \dfrac{x}{x^{2}+2x+1}.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
  • Objetivo: calcular o valor numérico desse limite.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicação didática).
  • Para frações racionais como \dfrac{x}{x^{2}+2x+1}, o comportamento quando x\to\infty é dominado pelos termos de maior potência em numerador e denominador.
  • Uma técnica simples e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui é x^{2}). Isso transforma a expressão em termos que tendem a 0 quando x\to\infty, facilitando a avaliação do limite.

Passo 3

Aplicando a divisão pelo maior grau ( x^{2}).
\frac{x}{x^{2}+2x+1} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}+2x+1}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Avaliação dos termos que aparecem depois da divisão (cada passo explicado).
  • Tem-se os limites elementares quando x\to\infty: \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
  • Então o denominador da fração obtida tende a 1+0+0=1 e o numerador tende a 0. Portanto a fração inteira tende a 0/1=0.

Passo 5

Uma forma alternativa (útil na prova) — fatoração e decomposição.
  • Observe que x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}. Assim \frac{x}{x^{2}+2x+1}=\frac{x}{(x+1)^{2}}.
  • Escrevendo x=(x+1)-1 obtemos \frac{x}{(x+1)^{2}}=\frac{x+1}{(x+1)^{2}}-\frac{1}{(x+1)^{2}} =\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}.
  • Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x+1}=0 e \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{(x+1)^{2}}=0, a diferença também tende a 0.

Passo 6

Um argumento de estimação (squeeze) para reforçar rigor.
  • Para x\ge 1 vale (x+1)^{2}\ge x^{2}, logo 0\le \frac{x}{(x+1)^{2}}\le \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}.
  • Como \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0, pelo Teorema do Confronto (squeeze), segue que \lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{(x+1)^{2}}=0.

Passo 7

Conclusão final: todas as abordagens concordam que o limite é 0. Força aí — é um caso clássico: grau do numerador ( 1) menor que grau do denominador ( 2) implica limite 0.

Resposta

0

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