Calcule.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - A expressão é uma função racional: quociente de dois polinômios (numerador
e denominador ). - A variável
tende para (isto é, para valores de grande módulo e sinal negativo).
Passo 2
Ideia geral e regra útil (explicação didática):
- Para limites de funções racionais quando
, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos com maior potência de ). - Se o grau do numerador e do denominador forem iguais, o limite quando
é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (os chamados coeficientes líderes). - Exemplo rápido:
, porque os termos de grau dominam.
Motivação técnica (como provar isso de forma simples): dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente na expressão para ver que os termos de ordem inferior vão para zero.
Passo 3
Aplicando a técnica ao problema: dividir por
(maior potência é
).
Observação: dividir por
é válido para
; como estamos levando
a
, não há problema.
Passo 4
Analisar os termos que ficam após a divisão:
- Quando
vale que e . (Intuição: números constantes divididos por um número cujo módulo cresce sem limite tendem a zero.) - Substituindo esses limites na expressão obtida:
Passo 5
Conclusão final e comentário curto:
- Pelo raciocínio acima, o limite existe e é o quociente dos coeficientes líderes (coeficiente de
no numerador é ; no denominador é ), logo o limite é . - (Curiosidade rápida: para valores muito negativos de
a fração fica um pouco maior que , aproximando-se de por cima.)