Calcule.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x+1}{x+2}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{2x+1}{x+2}.
  • A expressão é uma função racional: quociente de dois polinômios (numerador 2x+1 e denominador x+2).
  • A variável x tende para -\infty (isto é, para valores de grande módulo e sinal negativo).

Passo 2

Ideia geral e regra útil (explicação didática):
  • Para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty, o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos com maior potência de x).
  • Se o grau do numerador e do denominador forem iguais, o limite quando x\to\pm\infty é o quociente dos coeficientes dos termos de maior grau (os chamados coeficientes líderes).
  • Exemplo rápido: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+5x-1}{6x^2-4} = \frac{3}{6} = \tfrac{1}{2}, porque os termos de grau 2 dominam.
Motivação técnica (como provar isso de forma simples): dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente na expressão para ver que os termos de ordem inferior vão para zero.

Passo 3

Aplicando a técnica ao problema: dividir por x (maior potência é x^1).
\frac{2x+1}{x+2} = \frac{x\left(2+\dfrac{1}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{2}{x}\right)} = \frac{2+\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{2}{x}}.
Observação: dividir por x é válido para x\neq0; como estamos levando x a -\infty, não há problema.

Passo 4

Analisar os termos que ficam após a divisão:
  • Quando x\to -\infty vale que \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{2}{x}\to 0. (Intuição: números constantes divididos por um número cujo módulo cresce sem limite tendem a zero.)
  • Substituindo esses limites na expressão obtida:
\lim_{x\to -\infty}\frac{2+\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{2}{x}} = \frac{2+0}{1+0} = \frac{2}{1}.

Passo 5

Conclusão final e comentário curto:
  • Pelo raciocínio acima, o limite existe e é o quociente dos coeficientes líderes (coeficiente de x no numerador é 2; no denominador é 1), logo o limite é 2.
  • (Curiosidade rápida: para valores muito negativos de x a fração fica um pouco maior que 2, aproximando-se de 2 por cima.)

Resposta

2

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