Calcule.
\lim _{x \rightarrow p} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}-p^{2}\right)}{x-p} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+\frac{1}{x}\right)-\operatorname{sen} \frac{1}{x}}{x}

Passo 1

O que o problema pede: calcular
\lim_{x\to p}\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-p^{2}\bigr)}{x-p}\cdot\frac{\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}}{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
\;p é um número real fixo (parâmetro).
A expressão é produto de dois fatores; é provável que possamos estudar os limites dos fatores separadamente (quando isso for válido).
Devemos ter cuidado com o caso \;p=0 porque aparece \tfrac{1}{x} na expressão; quando x\to p=0 há comportamento oscilatório em \sin\!\tfrac{1}{x} que exige tratamento especial.

Passo 2

Analisando o primeiro fator
\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-p^{2}\bigr)}{x-p}.
Reescrevo x^{2}-p^{2}=(x-p)(x+p). Assim o fator fica
\frac{\sin\!\bigl((x-p)(x+p)\bigr)}{x-p}.
Use a famosa limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Aqui tomo u=(x-p)(x+p). Quando x\to p temos u\to 0. Faço a decomposição
\frac{\sin u}{x-p}=\frac{\sin u}{u}\cdot\frac{u}{x-p}.
No limite x\to p temos \frac{\sin u}{u}\to 1 e
\frac{u}{x-p}=\frac{(x-p)(x+p)}{x-p}=x+p\to p+p=2p.
Logo, o limite do primeiro fator é
\lim_{x\to p}\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-p^{2}\bigr)}{x-p}=2p.

Passo 3

Analisando o segundo fator
\frac{\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}}{x}.
Aplicamos a identidade trigonométrica
\sin A-\sin B=2\cos\!\Bigl(\frac{A+B}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{A-B}{2}\Bigr).
Com A=x^{2}+\tfrac{1}{x} e B=\tfrac{1}{x} obtemos A-B=x^{2} e \tfrac{A+B}{2}=\tfrac{1}{x}+\tfrac{x^{2}}{2}. Portanto o numerador vira
2\cos\!\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\Bigr).
Dividindo por x obtemos
\frac{\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}}{x} =2\cos\!\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}\Bigr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)}{x}.

Passo 4

Cálculo do limite do segundo fator quando p\neq 0.
Se p\neq 0, ao passar para x\to p temos
\cos\!\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}\Bigr)\longrightarrow \cos\!\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{p^{2}}{2}\Bigr),
pois o argumento tende a \tfrac{1}{p}+\tfrac{p^{2}}{2}. E
\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{2}\bigr)}{x}\longrightarrow\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)}{p},
porque \sin(\tfrac{x^{2}}{2}) é contínua em x=p. Então, para p\neq 0,
\lim_{x\to p}\frac{\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}}{x} =2\cos\!\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{p^{2}}{2}\Bigr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)}{p}.

Passo 5

Multiplicando os limites (caso p\neq 0):
Do Passo 2 o primeiro fator tende a 2p. Do Passo 4 o segundo fator tende a 2\cos\!\bigl(\tfrac{1}{p}+\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)}{p}. Multiplicando:
\begin{aligned} \lim_{x\to p}\text{(produto)} &=2p\cdot\left(2\cos\!\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{p^{2}}{2}\Bigr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)}{p}\right)\\[4pt] &=4\sin\!\Bigl(\frac{p^{2}}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{p^{2}}{2}\Bigr), \end{aligned}
pois o p cancela.]

Passo 6

Tratamento separado do caso p=0.
Se p=0 devemos avaliar
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x^{2})}{x}\cdot\frac{\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}}{x}.
Faço uma estimativa rigorosa: usando a identidade do Passo 3 com x pequeno,
\bigl|\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}\bigr| =2\bigl|\cos\!\Bigl(\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}\Bigr)\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\Bigr)\bigr| \le 2\bigl|\sin\!\Bigl(\frac{x^{2}}{2}\Bigr)\bigr|.
Usando |\sin t|\le |t| segue
\bigl|\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}\bigr|\le 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2}.
Assim o segundo fator satisfaz
\left|\frac{\sin\!\bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x}\bigr)-\sin\!\tfrac{1}{x}}{x}\right|\le\frac{x^{2}}{|x|}=|x|.
O primeiro fator satisfaz \left|\frac{\sin(x^{2})}{x}\right|\le\frac{|x^{2}|}{|x|}=|x|. Portanto o módulo do produto é bounded por |x|\cdot|x|=x^{2}, que tende a 0 quando x\to 0. Logo, quando p=0 o limite é 0.

Resposta

\displaystyle 0 se \;p=0.\n \displaystyle 4\sin\!\Bigl(\frac{p^{2}}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{p^{2}}{2}\Bigr) se \;p\neq 0.

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