Informações dadas e observações iniciais: \;p é um número real fixo (parâmetro).
A expressão é produto de dois fatores; é provável que possamos estudar os limites dos fatores separadamente (quando isso for válido).
Devemos ter cuidado com o caso \;p=0 porque aparece \tfrac{1}{x} na expressão; quando x\to p=0 há comportamento oscilatório em \sin\!\tfrac{1}{x} que exige tratamento especial.
Passo 2
Analisando o primeiro fator
\frac{\sin\!\bigl(x^{2}-p^{2}\bigr)}{x-p}.
Reescrevo x^{2}-p^{2}=(x-p)(x+p). Assim o fator fica
\frac{\sin\!\bigl((x-p)(x+p)\bigr)}{x-p}.
Use a famosa limite fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Aqui tomo u=(x-p)(x+p). Quando x\to p temos u\to 0. Faço a decomposição
Do Passo 2 o primeiro fator tende a 2p. Do Passo 4 o segundo fator tende a 2\cos\!\bigl(\tfrac{1}{p}+\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)\cdot\frac{\sin\!\bigl(\tfrac{p^{2}}{2}\bigr)}{p}. Multiplicando:
O primeiro fator satisfaz \left|\frac{\sin(x^{2})}{x}\right|\le\frac{|x^{2}|}{|x|}=|x|. Portanto o módulo do produto é bounded por |x|\cdot|x|=x^{2}, que tende a 0 quando x\to 0. Logo, quando p=0 o limite é 0.
Resposta
\displaystyle 0 se \;p=0.\n\displaystyle 4\sin\!\Bigl(\frac{p^{2}}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\frac{1}{p}+\frac{p^{2}}{2}\Bigr) se \;p\neq 0.