Calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{5 x^{3}+7 x-3}{x^{4}-3 x+3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x\to+\infty da função racional
\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-3x+3}.
Informações dadas e úteis:
  • O numerador é o polinômio 5x^{3}+7x-3 (grau 3).
  • O denominador é o polinômio x^{4}-3x+3 (grau 4).
  • A pergunta é: qual é o valor de \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-3x+3}?

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para limites de funções racionais quando x\to\pm\infty, os termos de maior grau dominam o comportamento. Uma maneira prática e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{4}). Isso transforma cada termo em algo com potências negativas de x, que tendem a zero quando x\to+\infty. Vou aplicar essa técnica passo a passo.
Dividindo numerador e denominador por x^{4} obtemos (cada termo fica explicado):
\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-3x+3} = \frac{\dfrac{5x^{3}}{x^{4}}+\dfrac{7x}{x^{4}}-\dfrac{3}{x^{4}}}{\dfrac{x^{4}}{x^{4}}-\dfrac{3x}{x^{4}}+\dfrac{3}{x^{4}}} = \frac{\dfrac{5}{x}+\dfrac{7}{x^{3}}-\dfrac{3}{x^{4}}}{1-\dfrac{3}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{4}}}.
Explicando os termos:
  • \dfrac{5x^{3}}{x^{4}}=\dfrac{5}{x},
  • \dfrac{7x}{x^{4}}=\dfrac{7}{x^{3}},
  • \dfrac{3}{x^{4}}=\dfrac{3}{x^{4}},
  • \dfrac{x^{4}}{x^{4}}=1,
  • \dfrac{3x}{x^{4}}=\dfrac{3}{x^{3}}.

Passo 3

Agora passo ao limite termo a termo. Para qualquer exponte positivo k>0 vale que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{k}}=0. Assim:
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{5}{x}=0,
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{7}{x^{3}}=0,
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3}{x^{4}}=0,
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(1-\dfrac{3}{x^{3}}+\dfrac{3}{x^{4}}\right)=1-0+0=1.
Como o denominador tende a 1\neq0, pode-se tomar o limite do quociente como quociente dos limites. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{3}+7x-3}{x^{4}-3x+3} = \frac{0}{1}=0.

Passo 4

Comentário rápido para fixar a ideia: quando o grau do numerador é menor que o do denominador (aqui 3<4), o limite de uma função racional quando x\to\pm\infty é sempre 0. Exemplo simples: \displaystyle\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{x^{2}}=0.

Resposta

0

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