Calcule o limite, se existir.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta perto de 0 e usar algumas propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função
. A tangente hiperbólica é definida por:
Mas para facilitar a nossa vida com limites, sabemos que quando
é muito pequeno,
pode ser aproximada por sua série de Taylor. A série de Taylor da
em torno de
é:
Para valores de
próximos de 0, os termos de ordem superior (
,
, etc.) são muito pequenos e podem ser ignorados. Assim, podemos simplificar:
Passo 3
Agora, aplicando essa aproximação na expressão que queremos calcular:
Substituímos
por aproximadamente
:
Os
no numerador e no denominador se cancelam:
Resposta
O limite é igual a
.