Calcule o limite, se existir.
h) lim x 0 tanh a xx

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o limite de tanh(a x)x quando x se aproxima de 0. Isso está dentro do conteúdo de limites em cálculo, especificamente envolvendo funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função tanh se comporta perto de 0 e usar algumas propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função tanh(x). A tangente hiperbólica é definida por:
tanh(x) = sinh(x)cosh(x) = e^x - e^-xe^x + e^-x
Mas para facilitar a nossa vida com limites, sabemos que quando x é muito pequeno, tanh(x) pode ser aproximada por sua série de Taylor. A série de Taylor da tanh(x) em torno de x=0 é:
tanh(x) = x - x^33 + 2x^515 - dots
Para valores de x próximos de 0, os termos de ordem superior ( x^3, x^5, etc.) são muito pequenos e podem ser ignorados. Assim, podemos simplificar:
tanh(x) approx x

Passo 3

Agora, aplicando essa aproximação na expressão que queremos calcular:
limx to 0 tanh(a x)x
Substituímos tanh(a x) por aproximadamente a x:
limx to 0 a xx
Os x no numerador e no denominador se cancelam:
limx to 0 a = a

Resposta

O limite é igual a a.

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