Considere as funções S(x), P(x), s(x) do exercício anterior. Expresse cada uma das seguintes funções em termos de S(x), P(x), s(x) usando somente os sinais, + * e circ. (Por exemplo: sen^2(x) = S(s(x)) = (S o s)(x)
f(t) = 2^(2^t)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa expressá-la usando apenas as funções , e , além das operações de adição ( ), multiplicação ( ) e a composição de funções ( ). Para isso, vamos precisar entender como combinar essas funções para chegar na expressão desejada.

Passo 2

Observando a função , vemos que ela envolve uma exponenciação dupla: primeiro e depois elevado a esse resultado. Vamos pensar em como usar a função para representar essas etapas.

Passo 3

Vamos supor que a função representa a operação de elevado a . Então, temos:

Passo 4

Agora, se aplicarmos a função novamente no resultado de , teremos:

Passo 5

Perceba que é exatamente a função . Isso significa que podemos expressar como a composição da função com ela mesma.

Resposta

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