Calcule o limite, se existir: lim x 9 x^2-81raizx-3

Passo 1

A questão pede para calcular o limite limxto9 x^2-81raizx-3. O conteúdo é cálculo de limites com forma indeterminada 0/0, e vamos precisar de fatoração e racionalização para resolver.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta x=9. No numerador 9^2-81=81-81=0 e no denominador raiz9-3=3-3=0, então obtemos 0/0, que é uma forma indeterminada. Precisamos, portanto, manipular a expressão.

Passo 3

Para eliminar o radical no denominador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de raizx-3, que é raizx+3. Assim temos:
x^2-81raizx-3cdotraizx+3raizx+3=(x^2-81)(raizx+3)(raizx-3)(raizx+3)=(x^2-81)(raizx+3)x-9

Passo 4

Observação: podemos fatorar x^2-81=(x-9)(x+9). Substituindo na expressão acima, fica
(x-9)(x+9)(raizx+3)x-9

Passo 5

Agora cancelamos o fator x-9 que aparece no numerador e denominador, ficando
(x+9)(raizx+3)

Passo 6

Por fim, substituímos x=9 sem gerar indeterminação: (9+9)(raiz9+3)=18cdot6=108. Portanto, o limite existe e vale 108.

Resposta

108

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