Encontre a derivada da função dada usando a definição: f(x)=1x+1x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=1x+1x^2 usando a definição de derivada, que é
limh to 0 f(x+h)-f(x)h
Vamos usar propriedades de limites e álgebra de frações.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h = l(tfrac1x+h+tfrac1(x+h)^2r)-l(tfrac1x+tfrac1x^2r)h

Passo 3

Separamos em dois termos e simplificamos cada um:
1/(x+h)-1/xh , + , 1/(x+h)^2-1/x^2h

Passo 4

No primeiro termo, calculamos:
1x+h-1x = -hx(x+h),
então
1/(x+h)-1/xh = -1x(x+h)
No limite hto0, isso tende a -tfrac1x^2.

Passo 5

No segundo termo, fazemos:
1(x+h)^2-1x^2 = -2xh + h^2x^2(x+h)^2,
portanto
1/(x+h)^2-1/x^2h = -2x + hx^2(x+h)^2
No limite hto0, isso tende a -tfrac2x^3.

Passo 6

Somando os dois resultados temos:
f'(x) = -1x^2 - 2x^3 = -x+2x^3

Resposta

-\frac{x+2}{x^3}

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