Calcule o limite se existir.
\lim _{x} \frac{x^{2}+5 x+4}{x-2}

Passo 1

O enunciado deu a expressão
\lim_{x} \frac{x^{2}+5x+4}{x-2}
mas não especificou para qual valor x tende (por exemplo x\to2, x\to\infty, x\to- \infty, etc.). Isso é importante porque o valor do limite depende do ponto de aproximação. Vou assumir as interpretações mais naturais que aparecem com frequência em provas e calcular:
  • \lim_{x\to 2} \dfrac{x^{2}+5x+4}{x-2},
  • \lim_{x\to \infty} \dfrac{x^{2}+5x+4}{x-2},
  • \lim_{x\to -\infty} \dfrac{x^{2}+5x+4}{x-2}.
Estas três respostas cobrem os casos comuns. Se você queria outro ponto, me avisa depois, mas por enquanto sigo com essas três interpretações.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador para entender melhor a expressão. A técnica: procurar duas raízes inteiras que somem 5 e cujo produto seja 4. Observamos que 1 e 4 funcionam. Então
x^{2}+5x+4 = (x+1)(x+4).
Factoring ajuda a ver zeros, sinais e possíveis cancelamentos (aqui não há cancelamento com x-2 porque nenhum fator é x-2).

Passo 3

Agora calculamos \lim_{x\to 2} \dfrac{x^{2}+5x+4}{x-2}.
Avalio numerador e denominador em x=2:
\text{numerador em }2: \; 2^{2}+5\cdot2+4 = 4+10+4 = 18,
\text{denominador em }2: \; 2-2 = 0.
Como o numerador tende para 18 (um número finito e não nulo) e o denominador tende para 0, o quociente tende para infinito ou menos infinito dependendo do lado de aproximação. Vamos analisar os sinais:
  • Para x\to 2^{+} (valores ligeiramente maiores que 2): x-2>0 e o numerador \approx 18>0. Logo a fração fica muito grande e positiva, isto é, tende para +\infty.
  • Para x\to 2^{-} (valores ligeiramente menores que 2): x-2<0 e numerador \approx 18>0. Logo a fração fica muito grande em módulo e negativa, isto é, tende para -\infty.
Como os limites laterais não coincidem ( +\infty e -\infty), o limite bilateral \lim_{x\to 2} não existe (dizemos que diverge; mais precisamente, há comportamento de tipo infinito com sinais opostos dos lados).

Passo 4

Explico brevemente o conceito que usamos: quando o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal do infinito vem do sinal do denominador ao aproximar-se do ponto. Se os dois lados dão o mesmo sinal infinito, dizemos que o limite é +\infty ou -\infty; se os lados dão sinais opostos, o limite bilateral não existe.

Passo 5

Agora calculamos \lim_{x\to \infty} \dfrac{x^{2}+5x+4}{x-2}. Uma maneira clara é fazer a divisão de polinômios (divisão inteira) para separar a parte polinomial da parte que vai a zero:
dividindo x^{2}+5x+4 por x-2 obtemos
\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} = x+7 + \frac{18}{x-2}.
(Se quiser, pode checar fazendo multiplicação: (x-2)(x+7)=x^{2}+5x-14; somando 18 x^{2}+5x+4.)
Agora, quando x\to\infty:
x+7 \to \infty,\qquad \frac{18}{x-2}\to 0,
portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} = \infty.
Intuição: grau do numerador é 2, do denominador é 1; a razão cresce como x^{2-1}=x, ou seja, diverge para infinito positivo quando x\to\infty.

Passo 6

Finalmente calculamos \lim_{x\to -\infty} \dfrac{x^{2}+5x+4}{x-2}. Usamos a mesma expressão da divisão:
\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} = x+7 + \frac{18}{x-2}.
Quando x\to -\infty:
x+7 \to -\infty,\qquad \frac{18}{x-2}\to 0,
então
\lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} = -\infty.
Isso também bate com a ideia de que para grandes |x| o quociente se comporta como x: para x negativo grande o resultado é negativo e de grande módulo.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}+5x+4}{x-2} não existe (limite lateral direito =+\infty, lateral esquerdo =-\infty).\n \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+5x+4}{x-2}=+\infty.\n \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+5x+4}{x-2}=-\infty.

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