Calcule o limite se existir.
Passo 1
O enunciado deu a expressão
mas não especificou para qual valor
tende (por exemplo
,
,
, etc.). Isso é importante porque o valor do limite depende do ponto de aproximação. Vou assumir as interpretações mais naturais que aparecem com frequência em provas e calcular:
-
, -
, -
.
Estas três respostas cobrem os casos comuns. Se você queria outro ponto, me avisa depois, mas por enquanto sigo com essas três interpretações.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o numerador para entender melhor a expressão. A técnica: procurar duas raízes inteiras que somem
e cujo produto seja
. Observamos que
e
funcionam. Então
Factoring ajuda a ver zeros, sinais e possíveis cancelamentos (aqui não há cancelamento com
porque nenhum fator é
).
Passo 3
Agora calculamos
.
Avalio numerador e denominador em
:
Como o numerador tende para
(um número finito e não nulo) e o denominador tende para
, o quociente tende para infinito ou menos infinito dependendo do lado de aproximação. Vamos analisar os sinais:
- Para
(valores ligeiramente maiores que ): e o numerador . Logo a fração fica muito grande e positiva, isto é, tende para . - Para
(valores ligeiramente menores que ): e numerador . Logo a fração fica muito grande em módulo e negativa, isto é, tende para .
Como os limites laterais não coincidem (
e
), o limite bilateral
não existe (dizemos que diverge; mais precisamente, há comportamento de tipo infinito com sinais opostos dos lados).
Passo 4
Explico brevemente o conceito que usamos: quando o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero, o quociente tende a infinito em módulo. O sinal do infinito vem do sinal do denominador ao aproximar-se do ponto. Se os dois lados dão o mesmo sinal infinito, dizemos que o limite é
ou
; se os lados dão sinais opostos, o limite bilateral não existe.
Passo 5
Agora calculamos
. Uma maneira clara é fazer a divisão de polinômios (divisão inteira) para separar a parte polinomial da parte que vai a zero:
dividindo por
obtemos
dividindo
(Se quiser, pode checar fazendo multiplicação:
; somando
dá
.)
Agora, quando
:
portanto
Intuição: grau do numerador é
, do denominador é
; a razão cresce como
, ou seja, diverge para infinito positivo quando
.
Passo 6
Finalmente calculamos
. Usamos a mesma expressão da divisão:
Quando
:
então
Isso também bate com a ideia de que para grandes
o quociente se comporta como
: para
negativo grande o resultado é negativo e de grande módulo.