Calcule o limite das funções:
\quad \lim _{(x, y, z) \rightarrow(\pi / 3,1, \pi)} \frac{\operatorname{sec} x y+\operatorname{sec} y z}{y-\operatorname{sec} z}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y,z)\to\left(\dfrac{\pi}{3},1,\pi\right)} \frac{\operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz)}{y-\operatorname{sec} z}.
Informações dadas:
  • O ponto de aproximação é \left(\dfrac{\pi}{3},1,\pi\right).
  • A função no numerador é \operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz), isto é, secante aplicada às expressões xy e yz.
  • A função no denominador é y-\operatorname{sec} z.
    O objetivo é calcular o valor do limite quando (x,y,z) tende ao ponto indicado.

Passo 2

Estratégia: verificar se dá para aplicar substituição direta. Para isso preciso checar se o numerador e o denominador são funções contínuas nas proximidades do ponto e se o denominador no ponto não é zero. Se ambos forem contínuos e o denominador no ponto for não nulo, o limite da razão é a razão dos limites (ou seja, o valor da função no ponto).
Explicação didática sobre continuidade (curtinha e prática):
  • A função \cos t é contínua para todo t.
  • A função \operatorname{sec} t é definida por \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. Logo \operatorname{sec} é contínua em pontos onde \cos t\neq 0.
  • Se g e h são contínuas numa vizinhança do ponto, então as composições g\circ h e soma/subtração/produto/razão (quando o denominador não zera) também são contínuas.
    No nosso caso, as funções xy e yz são polinomiais em (x,y,z) — portanto contínuas; compor com \operatorname{sec} dá funções contínuas desde que os cossenos correspondentes não sejam zero no ponto de interesse.

Passo 3

Calcular os argumentos das secantes no ponto:
xy\Big|_{(x,y,z)=\left(\frac{\pi}{3},1,\pi\right)}=\frac{\pi}{3}\cdot 1=\frac{\pi}{3},
yz\Big|_{(x,y,z)=\left(\frac{\pi}{3},1,\pi\right)}=1\cdot \pi=\pi,
z\Big|_{(x,y,z)=\left(\frac{\pi}{3},1,\pi\right)}=\pi.

Passo 4

Verificar se os cossenos associados são não nulos (condição para \operatorname{sec} ser contínua aí):
\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}\neq 0, \qquad \cos(\pi)=-1\neq 0.
Portanto \operatorname{sec} é bem definida e contínua nos pontos \frac{\pi}{3} e \pi. Assim podemos usar substituição direta.

Passo 5

Calcular as secantes nos valores obtidos (lembrando que \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}):
\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{\cos(\pi/3)}=\frac{1}{1/2}=2,
\operatorname{sec}(\pi)=\frac{1}{\cos\pi}=\frac{1}{-1}=-1.

Passo 6

Calcular o numerador pelo valor direto:
\operatorname{sec}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)+\operatorname{sec}(\pi)=2+(-1)=1.

Passo 7

Calcular o denominador pelo valor direto:
y-\operatorname{sec} z \Big|_{(x,y,z)=\left(\frac{\pi}{3},1,\pi\right)} = 1 - \operatorname{sec}(\pi)=1-(-1)=2.
Como o denominador é 2\neq 0, a substituição direta é válida.

Passo 8

Dividir numerador por denominador:
\frac{1}{2}.
Esse é o valor do limite.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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