Calcule o limite das funções: \quad \lim _{(x, y, z) \rightarrow(\pi / 3,1, \pi)} \frac{\operatorname{sec} x y+\operatorname{sec} y z}{y-\operatorname{sec} z}
O ponto de aproximação é \left(\dfrac{\pi}{3},1,\pi\right).
A função no numerador é \operatorname{sec}(xy)+\operatorname{sec}(yz), isto é, secante aplicada às expressões xy e yz.
A função no denominador é y-\operatorname{sec} z.
O objetivo é calcular o valor do limite quando (x,y,z) tende ao ponto indicado.
Passo 2
Estratégia: verificar se dá para aplicar substituição direta. Para isso preciso checar se o numerador e o denominador são funções contínuas nas proximidades do ponto e se o denominador no ponto não é zero. Se ambos forem contínuos e o denominador no ponto for não nulo, o limite da razão é a razão dos limites (ou seja, o valor da função no ponto).
Explicação didática sobre continuidade (curtinha e prática):
A função \cos t é contínua para todo t.
A função \operatorname{sec} t é definida por \operatorname{sec} t=\dfrac{1}{\cos t}. Logo \operatorname{sec} é contínua em pontos onde \cos t\neq 0.
Se g e h são contínuas numa vizinhança do ponto, então as composições g\circ h e soma/subtração/produto/razão (quando o denominador não zera) também são contínuas.
No nosso caso, as funções xy e yz são polinomiais em (x,y,z) — portanto contínuas; compor com \operatorname{sec} dá funções contínuas desde que os cossenos correspondentes não sejam zero no ponto de interesse.