Determine todos os pontos em que a função é contínua: f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\operatorname{sen}(x+y)}{x+y}, x+y \neq 0 \\\\ 1, x+y=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar todos os pontos (x,y)\) em que a função
\[f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\sin(x+y)}{x+y}, & x+y\neq 0,\\[6pt] 1, & x+y=0, \end{cases}
é contínua.
Informações dadas e observações iniciais:
A função tem duas fórmulas: uma válida quando \;x+y\neq 0\;\] e outra quando \(\;x+y=0\;.
A “linha” onde a definição muda é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\;x+y=0\}.
A questão é verificar continuidade em dois tipos de pontos: (i) pontos com x+y\neq 0 (fora da linha) e (ii) pontos com x+y=0 (na linha).]
Passo 2
Continuidade em pontos com \;x+y\neq 0.
Explicação conceitual curta: operações básicas (soma, seno, divisão quando o denominador não é zero) são contínuas; composição de funções contínuas é contínua. Portanto, se conseguirmos escrever f como composição dessas operações em regiões onde o denominador não zera, já temos continuidade.
Aplicação ao caso: defina \;g(x,y)=x+y\; e, para t\neq 0, defina \;h(t)=\dfrac{\sin t}{t}. Sabemos que \;g é contínua em toda \mathbb{R}^2 e \;h é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}. Para qualquer ponto (x_0,y_0) com \;x_0+y_0\neq 0, tem-se g(x_0,y_0)\neq 0, logo h\circ g é uma composição de funções contínuas num ponto onde tudo está definido. Portanto f(x,y)=h(g(x,y)) é contínua em todo ponto com \;x+y\neq 0.
Resumo prático: toda vez que \;x+y\neq 0 a função é contínua, sem mais trabalho.
Passo 3
O ponto delicado: continuidade nos pontos com \;x+y=0.
Objetivo: mostrar que para qualquer ponto (a,b) tal que \;a+b=0, vale
\lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=1,
já que f(a,b)=1. Se isso for verdade, então f é contínua nesses pontos também.
Estratégia: reduzir o limite de duas variáveis a um limite de uma variável usando a soma t=x+y. Usaremos o fato conhecido do cálculo de uma variável:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Vou lembrar rapidamente por que isso é verdade (é um resultado básico mas importante): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} tem-se a desigualdade \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1 (obtida a partir de comparações geométricas ou usando as desigualdades \sin t < t < \tan t); como \cos t\to 1 quando t\to 0, pelo teorema do “squeeze” conclui-se \dfrac{\sin t}{t}\to 1.
Passo 4
Prova ε–δ (rigor) da continuidade em um ponto (a,b) com \;a+b=0.
Seja \varepsilon>0 dado. Pelo limite univariado \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1, existe \delta_1>0 tal que
Se \|(x,y)-(a,b)\|<\delta então |x+y|<\delta_1, e portanto, pelo passo anterior,
\left|\frac{\sin(x+y)}{x+y}-1\right|<\varepsilon.
Isto mostra que
\lim_{(x,y)\to (a,b)} f(x,y)=1=f(a,b),
ou seja, f é contínua em (a,b).
Passo 5
Conclusão final e interpretação.
Juntando os resultados:
em todos os pontos com \;x+y\neq 0 a função é contínua porque é composição/razão de funções contínuas com denominador não nulo;
em cada ponto com \;x+y=0 a função também é contínua, pois a definição pontual f(a,b)=1 coincide com o limite de \dfrac{\sin(x+y)}{x+y} quando (x,y)\to (a,b).