Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1+3 x}{1+4 x^{2}+3 x^{4}}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 1:
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}}\right)^{3}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável que varia é x.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
  • A expressão é uma potência (expoente 3) de uma função racional \dfrac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}}.

Passo 2

Vou listar as Propriedades dos Limites que vou usar (cada uma explicada de forma simples):
  • Soma: \displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)+g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x), desde que os limites à direita existam. Aqui f e g são funções quaisquer.
  • Produto: \displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)\,g(x)\big)=\lim_{x\to a}f(x)\cdot\lim_{x\to a}g(x), quando os limites existem.
  • Potência inteira positiva: para n\in\mathbb{N}, \displaystyle \lim_{x\to a}\big(f(x)\big)^{n}=\big(\lim_{x\to a}f(x)\big)^{n}, se o limite de f(x) existir.
  • Quociente: \displaystyle \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to a}f(x)}{\lim_{x\to a}g(x)}, desde que \lim_{x\to a}g(x)\neq 0 e ambos os limites existam.
Essas propriedades permitem calcular limites de expressões construídas por somas, produtos, potências e quocientes a partir dos limites de partes mais simples.

Passo 3

Calcular o limite do numerador \,1+3x quando x\to 1.
Aplicando a propriedade da soma e da multiplicação por constante:
\lim_{x\to 1}(1+3x)=\lim_{x\to 1}1+\lim_{x\to 1}3x.
Aqui \lim_{x\to 1}1=1 (constante) e, usando produto por constante,
\lim_{x\to 1}3x=3\cdot\lim_{x\to 1}x=3\cdot 1=3.
Portanto
\lim_{x\to 1}(1+3x)=1+3=4.

Passo 4

Calcular o limite do denominador \,1+4x^{2}+3x^{4} quando x\to 1.
Usando repetidamente as propriedades de soma, produto e potência (potência inteira):
\lim_{x\to 1}\big(1+4x^{2}+3x^{4}\big)=\lim_{x\to 1}1+\lim_{x\to 1}4x^{2}+\lim_{x\to 1}3x^{4}.
Temos \lim_{x\to 1}1=1.
Para os termos com constantes:
\lim_{x\to 1}4x^{2}=4\cdot\lim_{x\to 1}x^{2}=4\cdot(\lim_{x\to 1}x)^{2}=4\cdot 1^{2}=4,
\lim_{x\to 1}3x^{4}=3\cdot\lim_{x\to 1}x^{4}=3\cdot(\lim_{x\to 1}x)^{4}=3\cdot 1^{4}=3.
Somando:
\lim_{x\to 1}\big(1+4x^{2}+3x^{4}\big)=1+4+3=8.

Passo 5

Calcular o limite do quociente \dfrac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}} quando x\to 1.
Pela propriedade do quociente, como já encontramos
\displaystyle \lim_{x\to 1}(1+3x)=4 e \displaystyle \lim_{x\to 1}(1+4x^{2}+3x^{4})=8 e o limite do denominador é diferente de zero ( 8\neq 0), vale
\lim_{x\to 1}\frac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora aplicar a propriedade da potência inteira positiva ao cubo: para n=3,
\lim_{x\to 1}\left(\frac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}}\right)^{3}=\left(\lim_{x\to 1}\frac{1+3x}{1+4x^{2}+3x^{4}}\right)^{3}.
Substituindo o resultado do passo anterior:
\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{8}

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