Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A variável que varia é
. - O ponto de aproximação é
. - A expressão é uma potência (expoente
) de uma função racional .
Passo 2
Vou listar as Propriedades dos Limites que vou usar (cada uma explicada de forma simples):
- Soma:
, desde que os limites à direita existam. Aqui e são funções quaisquer. - Produto:
, quando os limites existem. - Potência inteira positiva: para
, , se o limite de existir. - Quociente:
, desde que e ambos os limites existam.
Essas propriedades permitem calcular limites de expressões construídas por somas, produtos, potências e quocientes a partir dos limites de partes mais simples.
Passo 3
Calcular o limite do numerador
quando
.
Aplicando a propriedade da soma e da multiplicação por constante:
Aqui
(constante) e, usando produto por constante,
Portanto
Passo 4
Calcular o limite do denominador
quando
.
Usando repetidamente as propriedades de soma, produto e potência (potência inteira):
Temos
.
Para os termos com constantes:
Para os termos com constantes:
Somando:
Passo 5
Calcular o limite do quociente
quando
.
Pela propriedade do quociente, como já encontramos
e
e o limite do denominador é diferente de zero (
), vale
Passo 6
Agora aplicar a propriedade da potência inteira positiva ao cubo: para
,
Substituindo o resultado do passo anterior: