Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
\lim _{t \rightarrow-1}\left(t^{2}+1\right)^{3}(t+3)^{5}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)^{3}(t+3)^{5}.
Dados relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão é o produto de duas parcelas: \bigl(t^{2}+1\bigr)^{3} e (t+3)^{5}.
  • A variável é t e o ponto de aproximação é t\to -1.
O que se pede: calcular o valor do limite e justificar cada passagem usando propriedades de limites.

Passo 2

Vou lembrar (e explicar) as propriedades dos limites que vou usar — são regras básicas, fundamentais e muito usadas na prova:
  1. Regra da soma: se \lim_{t\to a} f(t)=L e \lim_{t\to a} g(t)=M existem, então
\lim_{t\to a}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=L+M.
Isto diz que o limite de uma soma é a soma dos limites (quando os limites existem).
  1. Regra do produto: se \lim_{t\to a} f(t)=L e \lim_{t\to a} g(t)=M existem, então
\lim_{t\to a}\bigl(f(t)\cdot g(t)\bigr)=L\cdot M.
Ou seja, o limite do produto é o produto dos limites.
  1. Regra da potência (expoente inteiro positivo): se \lim_{t\to a} f(t)=L existe, então para n\in\mathbb{N},
\lim_{t\to a}\bigl(f(t)\bigr)^{n}=L^{n}.
Isto pode ser visto como aplicação repetida da regra do produto.
  1. Limite de função polinomial/linear: funções polinomiais (como t, t^{2}, t+3, etc.) são contínuas em todos os pontos, então o limite no ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Em termos de propriedades anteriores, isto é obtido aplicando a regra da soma/produto e potência sucessivamente.
Essas regras justificam que podemos “substituir” t=-1 diretamente, desde que façamos os passos aplicando as regras.

Passo 3

Calcular \lim_{t\to -1} t.
Pela definição básica, \lim_{t\to -1} t = -1 (a função identidade é contínua).
Agora uso a regra da potência para obter \lim_{t\to -1} t^{2}. Pela regra da potência (ou produto: t^{2}=t\cdot t),
\lim_{t\to -1} t^{2} = \bigl(\lim_{t\to -1} t\bigr)^{2} = (-1)^{2} = 1.

Passo 4

Calcular \lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr).
Aplicando a regra da soma (sabendo que \lim_{t\to -1} t^{2}=1 e \lim_{t\to -1} 1=1, pois constante tem limite igual à constante),
\lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)=\lim_{t\to -1} t^{2} + \lim_{t\to -1} 1 = 1+1 = 2.

Passo 5

Elevar à potência: calcular \lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)^{3}.
Usando a regra da potência (expoente inteiro positivo) com f(t)=t^{2}+1 e já sabendo que \lim_{t\to -1} f(t)=2,
\lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)^{3} = \bigl(\lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)\bigr)^{3} = 2^{3} = 8.

Passo 6

Calcular \lim_{t\to -1} (t+3) e sua quinta potência.
Pela regra da soma (ou pela continuidade da função linear t+3),
\lim_{t\to -1} (t+3) = (-1)+3 = 2.
Aplicando a regra da potência,
\lim_{t\to -1} (t+3)^{5} = \bigl(\lim_{t\to -1} (t+3)\bigr)^{5} = 2^{5} = 32.

Passo 7

Agora aplico a regra do produto para juntar as duas partes.
Como já calculei
\lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)^{3} = 8 \quad\text{e}\quad \lim_{t\to -1}(t+3)^{5} = 32,
pela regra do produto
\lim_{t\to -1}\bigl(t^{2}+1\bigr)^{3}(t+3)^{5} = 8\cdot 32.
Faço a multiplicação: 8\cdot 32 = 256.

Resposta

256

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