Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Dados relevantes que o enunciado fornece:
- A expressão é o produto de duas parcelas:
e . - A variável é
e o ponto de aproximação é .
O que se pede: calcular o valor do limite e justificar cada passagem usando propriedades de limites.
Passo 2
Vou lembrar (e explicar) as propriedades dos limites que vou usar — são regras básicas, fundamentais e muito usadas na prova:
- Regra da soma: se
e existem, então
Isto diz que o limite de uma soma é a soma dos limites (quando os limites existem).
- Regra do produto: se
e existem, então
Ou seja, o limite do produto é o produto dos limites.
- Regra da potência (expoente inteiro positivo): se
existe, então para ,
Isto pode ser visto como aplicação repetida da regra do produto.
- Limite de função polinomial/linear: funções polinomiais (como
, , , etc.) são contínuas em todos os pontos, então o limite no ponto é simplesmente o valor da função no ponto. Em termos de propriedades anteriores, isto é obtido aplicando a regra da soma/produto e potência sucessivamente.
Essas regras justificam que podemos “substituir”
diretamente, desde que façamos os passos aplicando as regras.
Passo 3
Calcular
.
Pela definição básica,
(a função identidade é contínua).
Agora uso a regra da potência para obter
. Pela regra da potência (ou produto:
),
Passo 4
Calcular
.
Aplicando a regra da soma (sabendo que
e
, pois constante tem limite igual à constante),
Passo 5
Elevar à potência: calcular
.
Usando a regra da potência (expoente inteiro positivo) com
e já sabendo que
,
Passo 6
Calcular
e sua quinta potência.
Pela regra da soma (ou pela continuidade da função linear
),
Aplicando a regra da potência,
Passo 7
Agora aplico a regra do produto para juntar as duas partes.
Como já calculei
pela regra do produto
Faço a multiplicação:
.
Resposta
256