Calcule o limite: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}.
Informações dadas:
  • O numerador é \cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
  • O denominador é x^{4}.
  • A variável x tende a 0.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x se aproxima de 0?

Passo 2

Escolha do método: vou usar séries de Taylor (expansões em potências de x) das duas funções em torno de 0. Raciocínio: ambas as funções são suaves (infinitamente diferenciáveis) em 0, e como dividimos por x^{4} precisamos conhecer os termos até ordem x^{4}. Esse método é direto e evita aplicar várias vezes a regra de L’Hôpital, que seria mais trabalhoso. Agora explico o que é a série que vou usar.
A ideia da série de Taylor em torno de 0 (também chamada série de Maclaurin) é escrever uma função f como soma de potências de x:
f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^{2}+\frac{f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+\frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^{4}+\cdots,
onde f^{(n)}(0) é a n-ésima derivada de f em 0. Na prática aqui só precisamos dos termos até x^{4}. Vou indicar os termos de ordem maior por O(x^{6}), que significa “termos que são da ordem de x^{6} ou superiores” e que, ao dividir por x^{4}, tendem a 0 quando x\to 0.

Passo 3

Expansão de \cos(x) em torno de 0.
A série conhecida é
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots.
Aqui 2!=2 e 4!=24. Mantendo até x^{4} e agrupando os termos mais altos em O(x^{6}), temos
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}).
Observação pedagógica: os termos ímpares são zero porque as derivadas ímpares de \cos em 0 são zero.

Passo 4

Expansão de e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
Uma forma prática é escrever u=-\frac{x^{2}}{2} e usar a série de e^{u}:
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots.
Substituindo u=-\frac{x^{2}}{2}:
u=-\frac{x^{2}}{2},\qquad u^{2}=\frac{x^{4}}{4},\qquad u^{3}=-\frac{x^{6}}{8},\\ \ldots
Então, até ordem x^{4},
e^{-\frac{x^{2}}{2}}=1+\Big(-\frac{x^{2}}{2}\Big)+\frac{1}{2}\Big(\frac{x^{4}}{4}\Big)+O(x^{6}) =1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+O(x^{6}).
Expliquei: o termo \frac{u^{2}}{2!} virou \frac{x^{4}}{8}.

Passo 5

Subtração das duas expansões e divisão por x^{4}.
Pegando as duas expressões:
\cos(x)=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6}),
e^{-\frac{x^{2}}{2}}=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+O(x^{6}).
Subtraindo:
\cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\Big(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+O(x^{6})\Big)-\Big(1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{8}+O(x^{6})\Big).
Os termos 1 e -\frac{x^{2}}{2} cancelam, sobrando
\cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\frac{x^{4}}{24}-\frac{x^{4}}{8}+O(x^{6}).
Fatorando x^{4}:
\cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}=x^{4}\Big(\frac{1}{24}-\frac{1}{8}\Big)+O(x^{6}).
Calcule o parêntese:
\frac{1}{24}-\frac{1}{8}=\frac{1}{24}-\frac{3}{24}=-\frac{2}{24}=-\frac{1}{12}.
Logo
\cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}=-\frac{x^{4}}{12}+O(x^{6}).
Dividindo por x^{4}:
\frac{\cos(x)-e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{x^{4}}=-\frac{1}{12}+O(x^{2}).
Quando x\to 0, o termo O(x^{2}) vai para 0, portanto o limite é o coeficiente constante -\frac{1}{12}.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e vale o número obtido pela comparação dos coeficientes das séries.

Resposta

-\dfrac{1}{12}

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