Calcule o limite:
Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável
tende a .
A pergunta é: qual é o valor desse limite quandose aproxima de ?
Passo 2
Escolha do método: vou usar séries de Taylor (expansões em potências de
) das duas funções em torno de
. Raciocínio: ambas as funções são suaves (infinitamente diferenciáveis) em
, e como dividimos por
precisamos conhecer os termos até ordem
. Esse método é direto e evita aplicar várias vezes a regra de L’Hôpital, que seria mais trabalhoso. Agora explico o que é a série que vou usar.
A ideia da série de Taylor em torno de
(também chamada série de Maclaurin) é escrever uma função
como soma de potências de
:
onde
é a n-ésima derivada de
em
. Na prática aqui só precisamos dos termos até
. Vou indicar os termos de ordem maior por
, que significa “termos que são da ordem de
ou superiores” e que, ao dividir por
, tendem a
quando
.
Passo 3
Expansão de
em torno de
.
A série conhecida é
Aqui
e
. Mantendo até
e agrupando os termos mais altos em
, temos
Observação pedagógica: os termos ímpares são zero porque as derivadas ímpares de
em
são zero.
Passo 4
Expansão de
.
Uma forma prática é escrever
e usar a série de
:
Substituindo
:
Então, até ordem
,
Expliquei: o termo
virou
.
Passo 5
Subtração das duas expansões e divisão por
.
Pegando as duas expressões:
Subtraindo:
Os termos
e
cancelam, sobrando
Fatorando
:
Calcule o parêntese:
Logo
Dividindo por
:
Quando
, o termo
vai para
, portanto o limite é o coeficiente constante
.
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e vale o número obtido pela comparação dos coeficientes das séries.