Use o Teste da Comparação - Comparação dos limites para determinar se a série converge ou diverge
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}-1}
converge ou diverge, usando o Teste da Comparação por limites. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{n^{2}+1}{n^{3}-1}.
  • Observação importante: para n=1 o denominador é 1^{3}-1=0, logo o termo a_{1} não está definido. Portanto devemos interpretar a série como começando em n=2, ou seja considerar
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{n^{3}-1}.
  • Para n\ge 2 os termos a_{n} são positivos (numerador e denominador positivos), o que é uma condição necessária para aplicar o Teste da Comparação por limites.

Passo 2

Vou explicar o Teste da Comparação por limites (limite comparativo) de forma clara. Seja \{a_n\} e \{b_n\} duas sequências com termos positivos a partir de algum N. Se existir o limite finito e estritamente positivo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n},\quad 0<L<\infty,
então as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Em palavras: se os termos de uma série são assintoticamente proporcionais aos de outra (razão tende a um número positivo), então uma converge exatamente quando a outra converge. Aqui a_n e b_n são os termos das séries que estamos comparando.

Passo 3

Escolha da série para comparar. Observando a_n=\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}-1}, para n grande o termo dominante no numerador é n^{2} e no denominador é n^{3}, então heurísticamente
a_n\sim \frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n}.
Isso sugere comparar a_n com a sequência b_n=\dfrac{1}{n}. A série associada \sum b_n=\sum \dfrac{1}{n} é a série harmônica, que é bem conhecida por divergir. Se a razão \dfrac{a_n}{b_n} tender a um número positivo, concluiremos que \sum a_n também diverge.

Passo 4

Verificação das hipóteses do teste: para n\ge 2 temos a_n>0 e b_n>0. Agora vamos calcular explicitamente o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}+1}{n^{3}-1}}{\dfrac{1}{n}}.
Vou simplificar essa expressão passo a passo para deixar claro como fazer na prova.

Passo 5

Cálculo do limite. Começamos por multiplicar pelo inverso de b_n:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^{2}+1}{n^{3}-1}\cdot n=\frac{n^{3}+n}{n^{3}-1}.
Agora divido numerador e denominador por n^{3} para ver o comportamento quando n\to\infty:
\frac{n^{3}+n}{n^{3}-1}=\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{1-\dfrac{1}{n^{3}}}.
Quando n\to\infty as parcelas \dfrac{1}{n^{2}} e \dfrac{1}{n^{3}} tendem a zero, logo o limite é
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{n^{2}}}{1-\dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{1+0}{1-0}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1.

Passo 6

Conclusão a partir do teste. Encontramos um limite L=1 que é finito e estritamente positivo. Pelas hipóteses do Teste da Comparação por limites, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabemos que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge (é o caso p=1 da série p-série, que diverge para p\le 1). Assim \sum b_n diverge, e portanto \sum a_n também diverge.

Passo 7

Observação final sobre o início da soma: como dito no Passo 1, o termo para n=1 não é definido; a pergunta deve ser interpretada com soma começando em n=2. Essa mudança finitá é irrelevante para convergência/divergência (modificar ou omitir um número finito de termos não altera o comportamento assintótico). Logo a conclusão vale para a série dada.

Resposta

A série diverge.

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