Use o Teste da Comparação - Comparação dos limites para determinar se a série converge ou diverge
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, usando o Teste da Comparação por limites. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Observação importante: para
o denominador é , logo o termo não está definido. Portanto devemos interpretar a série como começando em , ou seja considerar
- Para
os termos são positivos (numerador e denominador positivos), o que é uma condição necessária para aplicar o Teste da Comparação por limites.
Passo 2
Vou explicar o Teste da Comparação por limites (limite comparativo) de forma clara. Seja
e
duas sequências com termos positivos a partir de algum
. Se existir o limite finito e estritamente positivo
então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem. Em palavras: se os termos de uma série são assintoticamente proporcionais aos de outra (razão tende a um número positivo), então uma converge exatamente quando a outra converge. Aqui
e
são os termos das séries que estamos comparando.
Passo 3
Escolha da série para comparar. Observando
, para
grande o termo dominante no numerador é
e no denominador é
, então heurísticamente
Isso sugere comparar
com a sequência
. A série associada
é a série harmônica, que é bem conhecida por divergir. Se a razão
tender a um número positivo, concluiremos que
também diverge.
Passo 4
Verificação das hipóteses do teste: para
temos
e
. Agora vamos calcular explicitamente o limite
Vou simplificar essa expressão passo a passo para deixar claro como fazer na prova.
Passo 5
Cálculo do limite. Começamos por multiplicar pelo inverso de
:
Agora divido numerador e denominador por
para ver o comportamento quando
:
Quando
as parcelas
e
tendem a zero, logo o limite é
Portanto
Passo 6
Conclusão a partir do teste. Encontramos um limite
que é finito e estritamente positivo. Pelas hipóteses do Teste da Comparação por limites, as séries
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência. Sabemos que a série harmônica
diverge (é o caso
da série
-série, que diverge para
). Assim
diverge, e portanto
também diverge.
Passo 7
Observação final sobre o início da soma: como dito no Passo 1, o termo para
não é definido; a pergunta deve ser interpretada com soma começando em
. Essa mudança finitá é irrelevante para convergência/divergência (modificar ou omitir um número finito de termos não altera o comportamento assintótico). Logo a conclusão vale para a série dada.
Resposta
A série diverge.