Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da função racional
\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{2}+x}{x^{2}-1}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x\to\infty.
    O que se pede: calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}.

Passo 2

Ideia geral e método que vamos usar (explicado passo a passo, como num mapa mental):
  • Para limites quando x\to\infty de frações racionais (polinômios no numerador e denominador), o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos com a maior potência de x).
  • Uma técnica direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso simplifica a expressão para termos que tendem a constantes e termos que tendem a zero, facilitando o cálculo do limite.
    Vou aplicar essa técnica e explicar por que cada passo é válido.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} (a maior potência presente) obtemos:
\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}=\frac{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora calculo cada fração dentro:
\frac{x^{2}}{x^{2}}=1,\qquad \frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x},\qquad \frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{x^{2}}.
Logo a expressão fica
\frac{x^{2}+x}{x^{2}-1}=\frac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Análise dos termos que restaram quando x\to\infty:
  • Sabemos que \dfrac{1}{x}\to 0 quando x\to\infty. Intuitivamente, conforme x cresce, o inverso fica cada vez menor; formalmente, para qualquer \varepsilon>0 existe N tal que para x>N vale \dfrac{1}{x}<\varepsilon.
  • Também \dfrac{1}{x^{2}}\to 0 quando x\to\infty (a queda é ainda mais rápida).
    Usando propriedades de limites (limite da soma é soma dos limites; limite do quociente é quociente dos limites quando o denominador não tende a zero), temos
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)}.
Calculo os limites no numerador e denominador:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1+0=1, \qquad \lim_{x\to\infty}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1-0=1.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{1}{x^{2}}}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Comentário didático e alternativa rápida: há uma regra prática para funções racionais:
  • Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, o limite quando x\to\infty é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm grau 2 e os coeficientes principais são 1 (em x^{2}), logo o limite é \dfrac{1}{1}=1. Isso é compatível com o cálculo acima.

Resposta

1

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