Calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da função racional
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto onde o limite é pedido é
.
O que se pede: calcular
Passo 2
Ideia geral e método que vamos usar (explicado passo a passo, como num mapa mental):
- Para limites quando
de frações racionais (polinômios no numerador e denominador), o comportamento é dominado pelos termos de maior grau (os termos com a maior potência de ). - Uma técnica direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é ). Isso simplifica a expressão para termos que tendem a constantes e termos que tendem a zero, facilitando o cálculo do limite.
Vou aplicar essa técnica e explicar por que cada passo é válido.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(a maior potência presente) obtemos:
Agora calculo cada fração dentro:
Logo a expressão fica
Passo 4
Análise dos termos que restaram quando
:
- Sabemos que
quando . Intuitivamente, conforme cresce, o inverso fica cada vez menor; formalmente, para qualquer existe tal que para vale . - Também
quando (a queda é ainda mais rápida).
Usando propriedades de limites (limite da soma é soma dos limites; limite do quociente é quociente dos limites quando o denominador não tende a zero), temos
Calculo os limites no numerador e denominador:
Portanto
Passo 5
Comentário didático e alternativa rápida: há uma regra prática para funções racionais:
- Se o grau do numerador é igual ao grau do denominador, o limite quando
é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Aqui ambos têm grau e os coeficientes principais são (em ), logo o limite é . Isso é compatível com o cálculo acima.