Calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{10 x+100}{x^{2}-30}

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{10x+100}{x^{2}-30}.
As informações dadas são exatamente os coeficientes e potências no numerador e no denominador da fração racional acima.

Passo 2

Escolha do método: não foi pedido um método específico, então vou usar uma técnica simples e segura para limites de funções racionais — dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador. Essa técnica é elementar e funciona bem sem cálculo pesado. Antes de aplicar, é útil ver os graus (ou ordens) dos polinômios:
  • grau do numerador \;= grau de 10x+100 é 1 (pois o termo dominante é 10x);
  • grau do denominador \;= grau de x^{2}-30 é 2 (pois o termo dominante é x^{2}).
Quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador, espera-se que o limite seja 0. Vou mostrar isso algebricamente.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{2} (a maior potência que aparece no denominador). Escrevo:
\frac{10x+100}{x^{2}-30} = \frac{\dfrac{10x}{x^{2}}+\dfrac{100}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}}{x^{2}}-\dfrac{30}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{10}{x}+\dfrac{100}{x^{2}}}{1-\dfrac{30}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora aplico o limite termo a termo usando a propriedade de que, quando x \to \infty,
\frac{1}{x}\to 0 \quad\text{e}\quad \frac{1}{x^{2}}\to 0.
Portanto
\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{100}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{30}{x^{2}}=0.
Substituindo no quociente obtido no passo anterior,
\lim_{x\to\infty}\frac{\dfrac{10}{x}+\dfrac{100}{x^{2}}}{1-\dfrac{30}{x^{2}}} = \frac{0+0}{1-0} = \frac{0}{1} = 0.

Passo 5

Resumo da ideia e exemplos para decorar (útil para prova):
  • Se o grau do numerador < grau do denominador, o limite quando x\to\infty é 0. Ex.: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^{2}+1}=0.
  • Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Ex.: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{6x^{2}+5}=\frac{3}{6}=\tfrac{1}{2}.
  • Se o grau do numerador > grau do denominador, o limite é \pm\infty conforme o sinal dominante. Ex.: \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}}=\lim_{x\to\infty}x=+\infty.

Resposta

0

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