Calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a infinito:
As informações dadas são exatamente os coeficientes e potências no numerador e no denominador da fração racional acima.
Passo 2
Escolha do método: não foi pedido um método específico, então vou usar uma técnica simples e segura para limites de funções racionais — dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador. Essa técnica é elementar e funciona bem sem cálculo pesado. Antes de aplicar, é útil ver os graus (ou ordens) dos polinômios:
- grau do numerador
grau de é (pois o termo dominante é ); - grau do denominador
grau de é (pois o termo dominante é ).
Quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador, espera-se que o limite seja
. Vou mostrar isso algebricamente.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
(a maior potência que aparece no denominador). Escrevo:
Passo 4
Agora aplico o limite termo a termo usando a propriedade de que, quando
,
Portanto
Substituindo no quociente obtido no passo anterior,
Passo 5
Resumo da ideia e exemplos para decorar (útil para prova):
- Se o grau do numerador
grau do denominador, o limite quando é . Ex.: . - Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Ex.:
. - Se o grau do numerador
grau do denominador, o limite é conforme o sinal dominante. Ex.: .