Calcule o limite ou mostre que não existe
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas importantes:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
, onde tanto numerador quanto denominador valem (forma ). - O objetivo é determinar se o limite existe e, se existir, encontrar seu valor numérico.
Passo 2
Fazer uma manipulação algébrica útil no numerador para enxergarmos a ordem dos termos. Observe que
Explicação didática: expandindo
obtemos
. Como
, somando temos exatamente o numerador original. Isso já diz algo: o numerador é soma de quadrados, portanto é não-negativo e tem comportamento quadrático em pequenas variações.
Passo 3
Manipulação conveniente no denominador usando identidades de funções hiperbólicas e trigonométricas. Lembrando que
substituindo,
Explicação didática: essas identidades vêm de fórmulas de duplicação. Isso mostra que o denominador também é soma de quadrados (hiperbólicos/trigonométricos) e também é não-negativo, e que seu comportamento principal perto de
será quadrático em
e
.
Passo 4
Vamos obter as expansões de Taylor (Maclaurin) até ordem 2 (oubits maiores) para as funções envolvidas, que é a técnica padrão para estudar limite no caso
. As expansões (com termos de ordem superior agrupados em
ou
) são:
Explicação didática: cada expansão é o polinômio de Maclaurin até a ordem necessária. O termo
(ou
) significa que existe constante
tal que o resto em módulo é no máximo
(ou
) quando estamos suficientemente perto de
. Para limites, termos de ordem superior serão pequenos comparados com
.
Passo 5
Usando as expansões, calculamos agora numerador e denominador até a ordem quadrática dominante.
Numerador:
Aqui eu explico os passos: o termo dentro do quadrado começa por
termos de ordem maior; ao elevar ao quadrado o termo
produz
dominante, os cruzamentos com termos de ordem maior geram ordens
. Somando o
do final obtemos o termo quadrático total
como principal.
Denominador:
Explicação didática:
tem ordem
para pequeno
, então seu quadrado traz
dominante; similar para
. Multiplicando por
dá
como termo principal.
Passo 6
Agora dividimos as expansões (numerador sobre denominador) e examinamos termos dominantes. Escrevemos de forma clara usando a noção de
:
Justificativa breve: todos os restos mostrados em Passo 5 são de ordem estritamente maior que 2 no somatório
(por exemplo
,
,
), então ao dividir por
eles vão a
quando
.
Portanto
Explicação didática: a razão dos termos principais é
. Os
são restos relativos que tendem a
, então não alteram o limite.
Passo 7
Resumo intuitivo e verificação rápida: o numerador comporta-se como
nas proximidades do zero (soma de quadrados), enquanto o denominador comporta-se como
. Assim a fração tende a
. Isso é robusto independente do caminho de aproximação (por exemplo
,
,
, polar), porque ambos numerador e denominador têm o mesmo tipo de termo quadrático isotrópico
.
Resposta
2