Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{2 x}+1-2 e^{x} \cos (y)}{\operatorname{cosh} (x)-\cos (y)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{2x}+1-2e^{x}\cos y}{\operatorname{cosh} x-\cos y}.
Informações dadas importantes:
  • A função no numerador é \;e^{2x}+1-2e^{x}\cos y\;.
  • A função no denominador é \;\operatorname{cosh} x-\cos y\;.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,0), onde tanto numerador quanto denominador valem 0 (forma 0/0).
  • O objetivo é determinar se o limite existe e, se existir, encontrar seu valor numérico.

Passo 2

Fazer uma manipulação algébrica útil no numerador para enxergarmos a ordem dos termos. Observe que
\begin{aligned} e^{2x}+1-2e^{x}\cos y &= e^{2x} + \cos^2 y -2e^{x}\cos y + (1-\cos^2 y)\\\ &= (e^{x}-\cos y)^2 + \sin^2 y. \end{aligned}
Explicação didática: expandindo (e^{x}-\cos y)^2 obtemos e^{2x} + \cos^2 y -2e^{x}\cos y. Como 1-\cos^2 y=\sin^2 y, somando temos exatamente o numerador original. Isso já diz algo: o numerador é soma de quadrados, portanto é não-negativo e tem comportamento quadrático em pequenas variações.

Passo 3

Manipulação conveniente no denominador usando identidades de funções hiperbólicas e trigonométricas. Lembrando que
\operatorname{cosh} x = 1 + 2\operatorname{sinh}^2\!\left(\frac{x}{2}\right),\qquad \cos y = 1-2\sin^2\!\left(\frac{y}{2}\right),
substituindo,
\operatorname{cosh} x - \cos y = 2\left(\operatorname{sinh}^2\!\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\!\left(\frac{y}{2}\right)\right).
Explicação didática: essas identidades vêm de fórmulas de duplicação. Isso mostra que o denominador também é soma de quadrados (hiperbólicos/trigonométricos) e também é não-negativo, e que seu comportamento principal perto de (0,0) será quadrático em x e y.

Passo 4

Vamos obter as expansões de Taylor (Maclaurin) até ordem 2 (oubits maiores) para as funções envolvidas, que é a técnica padrão para estudar limite no caso 0/0. As expansões (com termos de ordem superior agrupados em o(\cdot) ou O(\cdot)) são:
\begin{aligned} e^{x} &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(|x|^3),\\\ \cos y &= 1 - \frac{y^2}{2} + O(y^4),\\\ \sin y &= y + O(y^3),\\\ \operatorname{sinh}\!\left(\frac{x}{2}\right) &= \frac{x}{2} + O(|x|^3). \end{aligned}
Explicação didática: cada expansão é o polinômio de Maclaurin até a ordem necessária. O termo O(|x|^3) (ou O(y^4)) significa que existe constante C tal que o resto em módulo é no máximo C|x|^3 (ou C y^4) quando estamos suficientemente perto de 0. Para limites, termos de ordem superior serão pequenos comparados com x^2+y^2.

Passo 5

Usando as expansões, calculamos agora numerador e denominador até a ordem quadrática dominante.
Numerador:
\begin{aligned} (e^{x}-\cos y)^2 + \sin^2 y &= \big((1+x+\tfrac{x^2}{2}+O(|x|^3)) - (1-\tfrac{y^2}{2}+O(y^4))\big)^2 + (y + O(y^3))^2\\\ &= \big(x + \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{y^2}{2} + O(|x|^3+y^4)\big)^2 + y^2 + O(y^4)\\\ \text{(desenvolvendo o quadrado, e mantendo termos até ordem 2)}\\\ &= x^2 + y^2 + O(|x|^3 + x^2 y^2 + y^4). \end{aligned}é
Aqui eu explico os passos: o termo dentro do quadrado começa por x + \tfrac{y^2}{2} + termos de ordem maior; ao elevar ao quadrado o termo x produz x^2 dominante, os cruzamentos com termos de ordem maior geram ordens o(x^2+y^2). Somando o y^2 do final obtemos o termo quadrático total x^2+y^2 como principal.
Denominador:
\begin{aligned} \operatorname{cosh} x - \cos y &= 2\left(\operatorname{sinh}^2\!\left(\frac{x}{2}\right) + \sin^2\!\left(\frac{y}{2}\right)\right)\\\ &= 2\left(\left(\frac{x}{2} + O(|x|^3)\right)^2 + \left(\frac{y}{2} + O(y^3)\right)^2\right)\\\ &= 2\left(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} + O(|x|^4+y^4)\right)\\\ &= \frac{x^2+y^2}{2} + O(|x|^4+y^4). \end{aligned}
Explicação didática: \operatorname{sinh}(x/2) tem ordem x/2 para pequeno x, então seu quadrado traz x^2/4 dominante; similar para \sin(y/2). Multiplicando por 2 (x^2+y^2)/2 como termo principal.

Passo 6

Agora dividimos as expansões (numerador sobre denominador) e examinamos termos dominantes. Escrevemos de forma clara usando a noção de o(\cdot):
\begin{aligned} \text{numerador} &= x^2+y^2 + o(x^2+y^2),\\\ \text{denominador} &= \dfrac{x^2+y^2}{2} + o(x^2+y^2). \end{aligned}
Justificativa breve: todos os restos mostrados em Passo 5 são de ordem estritamente maior que 2 no somatório x^2+y^2 (por exemplo x^3, y^4, x^2y^2), então ao dividir por x^2+y^2 eles vão a 0 quando (x,y)\to(0,0).
Portanto
\begin{aligned} \frac{e^{2x}+1-2e^{x}\cos y}{\operatorname{cosh} x-\cos y} &= \frac{x^2+y^2 + o(x^2+y^2)}{\dfrac{x^2+y^2}{2} + o(x^2+y^2)}\\\ &= \frac{x^2+y^2}{\dfrac{x^2+y^2}{2}}\cdot\frac{1 + o(1)}{1 + o(1)}\\\ &\to 2\qquad\text{quando }(x,y)\to(0,0). \end{aligned}
Explicação didática: a razão dos termos principais é (x^2+y^2)/((x^2+y^2)/2)=2. Os o(1) são restos relativos que tendem a 0, então não alteram o limite.

Passo 7

Resumo intuitivo e verificação rápida: o numerador comporta-se como x^2+y^2 nas proximidades do zero (soma de quadrados), enquanto o denominador comporta-se como \tfrac{1}{2}(x^2+y^2). Assim a fração tende a 2. Isso é robusto independente do caminho de aproximação (por exemplo y=0, x=0, y=kx, polar), porque ambos numerador e denominador têm o mesmo tipo de termo quadrático isotrópico x^2+y^2.

Resposta

2

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