Calcule o limite das sequências:
\left(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \displaystyle a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}
e pede \lim_{n\to\infty}a_n. Vamos usar propriedades de limites de sequências e simplificar os termos dentro das raízes extraindo \sqrt{n}.

Passo 2

Extraímos \sqrt{n} do numerador e do denominador:
\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}} = \frac{\sqrt{n}\,\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}}{\sqrt{n}\,\sqrt{1+\tfrac{2}{n}}} = \frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{n}}}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}\tfrac{1}{n}=0, temos
\lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}=1, \quad \lim_{n\to\infty}\sqrt{1+\tfrac{2}{n}}=1.
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\lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{1+\tfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+\tfrac{2}{n}}} =\frac{1}{1}=1.

Resposta

O limite da sequência é 1.

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