Calcule o limite das sequências:
(\sqrt{n+3}-\sqrt{n}).

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \sqrt{n+3} - \sqrt{n}
quando n\to\infty. O conteúdo usado aqui é limite de sequência e uma técnica de álgebra de radicais (racionalização).

Passo 2

Racionalizamos a diferença multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{n+3}+\sqrt{n}:
a_{n} = \frac{(\sqrt{n+3}-\sqrt{n})(\sqrt{n+3}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} = \frac{(n+3)-n}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}} = \frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}.

Passo 3

Para n\to\infty, tanto \sqrt{n+3} quanto \sqrt{n} crescem sem limite, de modo que
\sqrt{n+3}+\sqrt{n}\;\longrightarrow\;\infty
e, portanto,
a_{n} = \frac{3}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n}}\;\longrightarrow\;0.

Resposta

O limite da sequência \sqrt{n+3}-\sqrt{n} é 0.

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