Calcule os limites abaixo.
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(i)
(d)
(j)
(e)
(k)
(f)
(I)
(a)
(g)
(b)
(h)
©
(i)
(d)
(j)
(e)
(k)
(f)
(I)
Passo 1
Então, cara, o exercício pede pra gente calcular 12 limites de funções. O conteúdo é Limites em cálculo diferencial, e vamos usar técnicas tipo:
- substituição direta quando possível;
- fatoração pra eliminar forma 0/0;
- racionalização (multiplicando por conjugado) pra lidar com raízes;
- análise de comportamento ao infinito dividindo pelo maior grau;
- limites laterais quando a função “explode” de um lado só.
A partir de agora, vou resolver cada item um por um, sem pular etapas, como se eu fosse explicar pra um amigo que tá começando.
Passo 2
Item (a):
.
- Note que dá
se só substituir. - Fatore o numerador:
. - Cancela
com o denominador.
Fica. - Agora substitui
:
Passo 3
Item (b):
.
Quando ,
. Logo a expressão vai pra
.
Quando
Passo 4
Item ©:
.
- Tenta substituir:
, e . - Não é indeterminado, é só dividir:
Passo 5
Item (d):
.
- Fatore numerador:
. - Fatore denominador:
. - Cancela
. Sobra . - Substitui
: .
Passo 6
Item (e):
.
- Uso o conjugado:
- Para
, o denominador cresce como , então a fração tende a .
Passo 7
Item (f):
.
- Conjugado de
é .
- Faz
: , logo dá .
Passo 8
Item (g):
.
- Substituir direto dá
. - Fatore
(raízes ). - Fatore
. - Cancela
e simplifica:
5) Avalia em
6) Por fim, a raiz cúbica de 2:
Passo 9
Item (h):
.
Quando ,
e
(denom é negativo e pequeno).
Então (vindos de sinal negativo, mas o limite numérico é
).
Quando
Então
Passo 10
Item (i):
.
- Conjugado
.
- Para
, isso vira .
Passo 11
Item (j):
.
Pra limites ao infinito de polinômios, divide tudo por e olha os coeficientes principais:
. Não muda por ser grau ímpar de ambos. Então dá
.
Pra limites ao infinito de polinômios, divide tudo por
Passo 12
Item (k):
.
Fatore , cancele
e sobra
. Substitui
:
.
Fatore
Passo 13
Item (l):
.
- Substitui:
, . Ratio . - Raiz quadrada principal de
é (sempre não-negativa).
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)