Calcule os limites abaixo.
(a)
lim x -3 / 4 16 x^2-94 x+3
(g) lim x 1 / 2 raiz[3]4 x^2+4 x-34 x^2-1
(b) lim x 0(1+1x^2)
(h) lim x 1^- x^2+11 /(x-1)
© lim h 1 h^2-43 h^3+6
(i) lim t 0 raiz9-t-3t
(d) lim x -2 x^2-x-6x^2-5 x-14
(j) lim y -infty 4 y^3+2 y^2-58 y^3+y+2
(e) lim x infty raizx^2+1-x
(k) lim z -3 z^2-9z+3
(f) lim t 0 1-raiz1+tt
(I) lim y -4 raiz5 y+4y-5

Passo 1

Então, cara, o exercício pede pra gente calcular 12 limites de funções. O conteúdo é Limites em cálculo diferencial, e vamos usar técnicas tipo:
  • substituição direta quando possível;
  • fatoração pra eliminar forma 0/0;
  • racionalização (multiplicando por conjugado) pra lidar com raízes;
  • análise de comportamento ao infinito dividindo pelo maior grau;
  • limites laterais quando a função “explode” de um lado só.
A partir de agora, vou resolver cada item um por um, sem pular etapas, como se eu fosse explicar pra um amigo que tá começando.

Passo 2

Item (a):
limxto -tfrac3416x^2-94x+3.
  1. Note que dá 0/0 se só substituir.
  2. Fatore o numerador: 16x^2-9=(4x-3)(4x+3).
  3. Cancela (4x+3) com o denominador.
    Fica 4x-3.
  4. Agora substitui x=-tfrac34:
4!l(-tfrac34r)-3=-3-3=-6

Passo 3

Item (b):
limxto0l(1+1x^2r).
Quando xto0, 1x^2to+infty. Logo a expressão vai pra 1+ (+infty)=+infty.

Passo 4

Item ©:
limhto1h^2-43h^3+6.
  1. Tenta substituir: h^2-4=1-4=-3, e 3h^3+6=3+6=9.
  2. Não é indeterminado, é só dividir:
-39=-tfrac13

Passo 5

Item (d):
limxto-2x^2-x-6x^2-5x-14.
  1. Fatore numerador: x^2-x-6=(x-3)(x+2).
  2. Fatore denominador: x^2-5x-14=(x-7)(x+2).
  3. Cancela (x+2). Sobra (x-3)/(x-7).
  4. Substitui x=-2: (-2-3)/(-2-7)=(-5)/(-9)=5/9.

Passo 6

Item (e):
limxtoinftyl(raizx^2+1-xr).
  1. Uso o conjugado:
raizx^2+1-x=(raizx^2+1-x)(raizx^2+1+x)raizx^2+1+x =x^2+1-x^2raizx^2+1+x =1raizx^2+1+x
  1. Para xtoinfty, o denominador cresce como 2x, então a fração tende a 0.

Passo 7

Item (f):
limtto01-raiz1+tt.
  1. Conjugado de 1-raiz1+t é 1+raiz1+t.
1-raiz1+ttcdot1+raiz1+t1+raiz1+t =1-(1+t)t,(1+raiz1+t) =-tt,(1+raiz1+t) =-11+raiz1+t
  1. Faz tto0: 1+raiz1+0=2, logo dá -1/2.

Passo 8

Item (g):
limxto12raiz[3]4x^2+4x-34x^2-1.
  1. Substituir direto dá 0/0.
  2. Fatore 4x^2+4x-3=4l(x-tfrac12r)l(x+tfrac32r) (raízes tfrac12,-tfrac32).
  3. Fatore 4x^2-1=(2x-1)(2x+1)=2(x-tfrac12)(2x+1).
  4. Cancela (x-tfrac12) e simplifica:
4(x+tfrac32)2(2x+1)=2(x+tfrac32)2x+1=2x+32x+1
5) Avalia em x=tfrac12: (1+3)/(1+1)=4/2=2.
6) Por fim, a raiz cúbica de 2: raiz[3]2.

Passo 9

Item (h):
limxto1^-x^2+11/(x-1).
Quando xto1^-, x^2+1to2 e 1/(x-1)to-infty (denom é negativo e pequeno).
Então 2/(-infty)=0 (vindos de sinal negativo, mas o limite numérico é 0).

Passo 10

Item (i):
limtto0raiz9-t-3t.
  1. Conjugado raiz9-t+3.
raiz9-t-3tcdotraiz9-t+3raiz9-t+3 =9-t-9t(raiz9-t+3) =-tt(raiz9-t+3) =-1raiz9-t+3
  1. Para tto0, isso vira -1/(3+3)=-1/6.

Passo 11

Item (j):
limyto-infty4y^3+2y^2-58y^3+y+2.
Pra limites ao infinito de polinômios, divide tudo por y^3 e olha os coeficientes principais: 4/8=1/2. Não muda por ser grau ímpar de ambos. Então dá 1/2.

Passo 12

Item (k):
limzto-3z^2-9z+3.
Fatore z^2-9=(z-3)(z+3), cancele (z+3) e sobra z-3. Substitui z=-3: -3-3=-6.

Passo 13

Item (l):
limyto-4raiz5y+4y-5.
  1. Substitui: 5(-4)+4=-16, (-4)-5=-9. Ratio (-16)/(-9)=16/9.
  2. Raiz quadrada principal de 16/9 é 4/3 (sempre não-negativa).

Resposta

a) -6
b) +infty
c) -tfrac13
d) tfrac59
e) 0
f) -tfrac12
g) raiz[3]2
h) 0
i) -tfrac16
j) tfrac12
k) -6
l) tfrac43

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