Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x^{3}-2 x+1}{5 x^{3}+4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}-2x+1}{5x^{3}+4x^{2}}.
Informações dadas e o que é solicitado:
  • A expressão é uma função racional: numerador 3x^{3}-2x+1 e denominador 5x^{3}+4x^{2}.
  • O ponto onde o limite deve ser calculado é x\to\infty.
  • Precisamos encontrar o valor numérico para o qual essa fração tende quando x cresce sem limite.

Passo 2

Ideia prática (sem ainda calcular): quando x\to\infty os termos com maiores potências de x dominam o comportamento da função. Uma forma segura de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{3}). Vou fazer isso passo a passo e usar propriedades de limites (soma, produto e quociente de limites, e que termos do tipo 1/x^{a} vão para zero quando a>0).

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{3}. Isso é permitido porque para x\neq0 multiplicar por 1/x^{3} não muda a fração, e estamos interessados em x\to\infty (valores grandes, não zero). Escrevo:
\frac{3x^{3}-2x+1}{5x^{3}+4x^{2}} = \frac{\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}-\dfrac{2x}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{\dfrac{5x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{4x^{2}}{x^{3}}}.

Passo 4

Calculo cada divisão simples dentro da fração:
\dfrac{3x^{3}}{x^{3}}=3,\qquad \dfrac{2x}{x^{3}}=\dfrac{2}{x^{2}},\qquad \dfrac{1}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{3}},
\dfrac{5x^{3}}{x^{3}}=5,\qquad \dfrac{4x^{2}}{x^{3}}=\dfrac{4}{x}.
Portanto a expressão fica
\frac{3-\dfrac{2}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{3}}}{5+\dfrac{4}{x}}.

Passo 5

Agora uso o fato básico sobre termos decrescentes: para qualquer potência positiva a>0 vale
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{a}}=0.
Intuição curta: à medida que x cresce, o denominador cresce muito e a fração vai a zero. Em particular
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^{2}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=0,\qquad \lim_{x\to\infty}\frac{4}{x}=0.

Passo 6

Aplicando as propriedades de limite (limite da soma é soma dos limites; limite do quociente é quociente dos limites se o limite do denominador for diferente de zero), temos
\lim_{x\to\infty}\left(3-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)=3-0+0=3
e
\lim_{x\to\infty}\left(5+\frac{4}{x}\right)=5+0=5.
Como o limite do denominador é 5\neq0, podemos dividir os limites.

Passo 7

Portanto o limite original é
\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{3}-2x+1}{5x^{3}+4x^{2}} = \frac{3}{5}.
Observação prática: esse procedimento corresponde à regra prática para funções racionais de mesmo grau no numerador e denominador — o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 3 e 5).

Resposta

\dfrac{3}{5}

Exercícios relacionados