Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas e o que é solicitado:
- A expressão é uma função racional: numerador
e denominador . - O ponto onde o limite deve ser calculado é
. - Precisamos encontrar o valor numérico para o qual essa fração tende quando
cresce sem limite.
Passo 2
Ideia prática (sem ainda calcular): quando
os termos com maiores potências de
dominam o comportamento da função. Uma forma segura de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui
). Vou fazer isso passo a passo e usar propriedades de limites (soma, produto e quociente de limites, e que termos do tipo
vão para zero quando
).
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Isso é permitido porque para
multiplicar por
não muda a fração, e estamos interessados em
(valores grandes, não zero). Escrevo:
Passo 4
Calculo cada divisão simples dentro da fração:
Portanto a expressão fica
Passo 5
Agora uso o fato básico sobre termos decrescentes: para qualquer potência positiva
vale
Intuição curta: à medida que
cresce, o denominador cresce muito e a fração vai a zero. Em particular
Passo 6
Aplicando as propriedades de limite (limite da soma é soma dos limites; limite do quociente é quociente dos limites se o limite do denominador for diferente de zero), temos
e
Como o limite do denominador é
, podemos dividir os limites.
Passo 7
Portanto o limite original é
Observação prática: esse procedimento corresponde à regra prática para funções racionais de mesmo grau no numerador e denominador — o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
).